Aksjomat Pascha

Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej niedający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa:

Dane są na płaszczyźnie prosta $l$ i punkty $P$ i $Q$ spoza $l$ takie, że odcinek $PQ$ przecina $l.$ Jeśli $R$ jest kolejnym punktem poza $l,$ to dokładnie jeden z odcinków $RP$ lub $RQ$ przecina $l\,{}$.

Inna postać aksjomatu:

Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.

Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

Punkty $P,Q$ leżą po jednej stronie prostej $l,$ jeśli odcinek $PQ$ jest rozłączny z prostą $l$.

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.

Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

Bibliografia

• Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”. 501, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432. brak numeru strony