Aksjomat zbioru potęgowego

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP^[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać^[1]:

\forall u\;\exists y\;\forall x\;{\Big (}x\in y\Leftrightarrow \forall z\;(z\in x\Rightarrow z\in u){\Big )}.

Można go również sformalizować inaczej^[2]:

\forall u\;\exists y\;\forall x\;(x\in y\Leftrightarrow x\subseteq u).

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol $\subseteq$ oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji $(x\subseteq y\Leftrightarrow \forall z\ (z\in x\Rightarrow z\in y))$ ^[3].

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru $u$ istnieje zbiór $y,$ którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru $u.$ Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnienie dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru $u$ ^[1]. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $u.$ Oznacza się go $P(u).$

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: $\forall x\;(x\in P(U)\Leftrightarrow x\subseteq U)$ ^[2].

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego edytuj

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF⁻ (bądź ZFC⁻), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał^[4], zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF⁻, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba $\omega _{1}$ jest singularna), a także takie modele ZF⁻, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba $\omega _{1}$ istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazali^[5], że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC⁻.

Przypisy edytuj

↑ ^a ^b ^c Nowak 2016 ↓, s. 92.
↑ ^a ^b Nowak 2016 ↓, s. 97.
↑ Nowak 2016 ↓, s. 93–94.
↑ Andrzej Zarach, Unions of ZF⁻-models which are themselves ZF⁻-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.
↑ V. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406.

Bibliografia edytuj

Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.

Linki zewnętrzne edytuj

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Power Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].

[CITEREFNowak201692-1] Nowak 2016 ↓, s. 92.

[CITEREFNowak201697-2] Nowak 2016 ↓, s. 97.

[CITEREFNowak201693–94-3] Nowak 2016 ↓, s. 93–94.

[4] Andrzej Zarach, Unions of ZF⁻-models which are themselves ZF⁻-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.

[5] V. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]