Aksjomaty oddzielania

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

Diagram Hassego dla aksjomatów oddzielania; aksjomaty wyżej są silniejsze, a linia oznacza wynikanie.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T₂ (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Ciąg główny aksjomatów oddzielania

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane $T_{i}.$ Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy $i$ wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu $i$ wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów $T_{i}$ jest ustalone.

Niech $\tau$ będzie topologią na zbiorze $X.$ Powiemy, że przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ spełnia aksjomat:

• T₀, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X,$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;

• T₁, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,$ ale $y\notin U;$

• T₂, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U\subseteq X$ i $V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $y\in V;$

• T₃, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_{1}$ i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $F\subseteq V;$

• T_{3 1/2}, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_{1}$ i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć funkcję ciągłą $f:X\longrightarrow [0,1]$ taką, że $f(x)=0$ i $f(y)=1$ dla wszystkich punktów $y\in F;$

• T₄, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_{1}$ i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ (czyli $E\cap F=\emptyset$) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $E\subseteq U$ i $F\subseteq V;$

• T₅, jeśli

każda podprzestrzeń przestrzeni $X$ spełnia aksjomat $T_{4};$

• T₆, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_{4}$ i każdy domknięty podzbiór $X$ jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat $T_{0}$” mówimy po prostu, że jest $T_{0}.$ Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

Własności i przykłady

• Każda przestrzeń metryczna jest $T_{6}.$
• Zachodzą następujące implikacje:

$T_{6}\Rightarrow T_{5}\Rightarrow T_{4}\Rightarrow T_{3{\frac {1}{2}}}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0},$

gdzie $T_{i}\Rightarrow T_{j}$ należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat $T_{i}$ spełnia także aksjomat $T_{j}$. Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

• Aksjomaty $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6}$ są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność $T_{4}$ nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu $T_{5},$ czyli dziedzicznej normalności.
• Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności $T_{5},T_{6}$ są zaliczane do aksjomatów oddzielania:

Przestrzeń T₁ $X$ spełnia aksjomat $T_{5}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów $A,B\subseteq X$ takich, że $A\cap {\rm {cl}}(B)=\emptyset ={\rm {cl}}(A)\cap B$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $A\subseteq U,$ $B\subseteq V$ i $U\cap V=\emptyset$

Przestrzeń T₁ $X$ spełnia aksjomat $T_{6}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów $A,B\subseteq X$ istnieje funkcja ciągła $f:X\longrightarrow [0,1]$ taka, że $f^{-1}[\{0\}]=A$ i $f^{-1}[\{1\}]=B.$

Zobacz też

• przestrzeń T₀
• przestrzeń T₁
• przestrzeń T₂
• przestrzeń T₃
• przestrzeń T_{3 1/2}
• przestrzeń T₄
• przestrzenie T₅ i T₆