Alternatywa Fredholma

Alternatywa Fredholma – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące istnienia i jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych na przestrzeni Hilberta.

Alternatywa Fredholma jest uogólnieniem na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha następującego faktu dotyczącego algebry liniowej. Dla danego przekształcenia liniowego $A\colon V\to V$ na $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej zachodzi dokładnie jedna z możliwości:

• $A$ jest odwzorowaniem suriektywnym,

  dla każdego $y\in V$ istnieje taki element $x\in V,$ że $Ax=y;$

• $A$ nie jest odwzorowaniem różnowartościowym,

  istnieje taki niezerowy element $v\in V,$ że $Av=0.$

Wersja podstawowa

Niech $X$ będzie zespoloną przestrzenią Banacha, $T\colon X\to X$ będzie liniowym operatorem zwartym oraz $\lambda$ niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie

$Tx-\lambda x=y$

ma rozwiązanie dla każdego $y\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

$Tx-\lambda x=0$

jest $x=0$. Innymi słowy, równanie $y=Tx-\lambda x$ ma rozwiązanie dla każdego $y\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lambda$ nie jest wartością własną operatora $T.$

Oznaczając $S=T-\lambda \cdot I_{X},$ gdzie $I_{X}$ to operator identycznościowy na $X,$ powyższe jest równoważne temu, że

• albo operator $S$ jest suriektywny,
• albo operator $S$ nie jest różnowartościowy.

Dowód

• Przypadek, gdy $\lambda$ nie jest wartością własną operatora $T\colon X\to X.$ W tym przypadku istnieje taka liczba $c>0,$ że operator $T-\lambda \cdot I_{X}$ jest ograniczony z dołu przez $c,$ tj.

$\|Tx-\lambda x\|\geqslant c\|x\|\quad (x\in X).$

Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych $(x_{n})$ w $X,$ że ciąg $(Tx_{n}-\lambda x_{n})$ jest zbieżny do zera. Ponieważ $\|\lambda x_{n}\|=|\lambda |,$ infimum norm elementów $y_{n}=Tx_{n}$ jest dodatnie. Ponieważ operator $T$ jest zwarty, ciąg $(y_{n})$ ma podciąg $(y_{n_{k}})$ zbieżny do pewnego niezerowego elementu $y\in X.$ Z uwagi na to, że ciąg $(Tx_{n}-\lambda x_{n})$ jest zbieżny do zera, ciąg $(Ty_{n_{k}}-\lambda y_{n_{k}})$ jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości, $Ty-\lambda y=0,$ co przeczy temu, że $\lambda$ nie jest wartością własną $T.$

Ponieważ operator $T-\lambda \cdot I_{X}$ jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego $y\in X$ istnieje takie $x\in X,$ że $y=Tx-\lambda x,$ należy uzasadnić, że cała przestrzeń $X$ jest obrazem operatora $T-\lambda \cdot I_{X}.$ Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej $m$ podprzestrzeń $X_{m}$ będąca obrazem operatora $(T-\lambda \cdot I_{X})^{m}$ byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów $x_{m}$ w $X$ o normie 1, że odległość $x_{m}$ od $X_{m}$ wynosi co najmniej 1/2.

Niech $m<n$ będą liczbami naturalnymi. Wówczas $Tx_{n}-\lambda x_{n},$ jak i $Tx_{m}-\lambda x_{m}$ należą do $X_{m+1},$ tj.

$Tx_{m}-Tx_{n}\in \lambda x_{m}+X_{m+1}.$

Ponieważ odległość między $x_{m}$ od $X_{m}$ wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie

$\|Tx_{m}-Tx_{n}\|\geqslant {\frac {|\lambda |}{2}},$

które przeczy zwartości $T,$ gdyż ciąg $(Tx_{n})$ nie ma podciągu zbieżnego.

• Przypadek, gdy $\lambda$ jest wartością własną operatora $T\colon X\to X$ implikuje, że operator $T-\lambda \cdot I_{X}$ nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca $\lambda$ należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora $T-\lambda \cdot I_{X}$ nie może być cała przestrzeń $X$ (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator $T^{*}$ jest również zwarty. Ponadto $(T-\lambda \cdot I_{X})^{*}=T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}.$ Gdyby $T-\lambda \cdot I_{X}$ był suriektywny, operator $T^{*}-\lambda \cdot I_{X}{^{*}}$ byłby różnowartościowy, tj. w szczególności $\lambda$ nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator $T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}$ byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator $T^{**}-\lambda \cdot I_{X}{^{**}}$ jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ:

$\kappa _{X}(T-\lambda \cdot I_{X})={\big (}T^{**}-\lambda \cdot I_{X^{**}}{\big )}|_{\kappa _{X}(X)},$

gdzie $\kappa _{X}\colon X\to X^{**}$ oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną.

Wersja ogólna

Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora $I_{X}-T$ z jego obrazem dla operatora zwartego $T\colon X\to X$ na przestrzeni Banacha $X$.

Niech $T\colon X\to X$ będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha $X.$ Wówczas:

• jądro operatora $I_{X}-T$ jest skończenie wymiarowe,
• obraz operatora $I_{X}-T$ jest domknięty, ponadto

$\mathrm {im} (I_{X}-T)=\ker(I_{X^{*}}-T^{*})^{\perp },$

• operator $I_{X}-T$ jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń $X$),
• $\dim \ker(I_{X}-T)=\dim \ker(I_{X^{*}}-T^{*}).$

Zobacz też

• operator Sturma-Liouville'a
• równanie całkowe Fredholma
• twierdzenie Hilberta-Schmidta

Bibliografia

• Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.
• Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), ISBN 0-387-95219-5.