Aproksymacja średniokwadratowa

Aproksymacja średniokwadratowa – aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale $[a,b].$ Istotność błędu w poszczególnych punktach mierzy się za pomocą funkcji wagowej $w(x).$ Jeśli funkcję $f(x)$ próbuje się przybliżać za pomocą $\varphi (x),$ to minimalizuje się błąd:

E=\int \limits _{a}^{b}w(x)[\varphi (x)-f(x)]^{2}\;dx.

(a)

Ze względów praktycznych stosuje się inną definicję błędu, umożliwiającą prostszą jego minimalizację

R=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}

(b)

zwłaszcza wtedy, gdy przyjmie się dodatkowo

\varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,...\,+a_{m}x^{m}=\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i},\quad m<n.

(c)

Warunek stacjonarności funkcji $R(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})$ przybiera postać

{\begin{aligned}{\tfrac {\partial R}{\partial a_{k}}}&={\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\left\{\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}\right\}\\&=2\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]{\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]x_{i}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n}\left\{[x_{i}^{k}\;\;x_{i}^{k+1}\;\;...\;\;x_{i}^{k+m}]\mathbf {a} -f_{i}x_{i}^{k}\right\}\\&=0,\qquad k=0,\,1,\,...\,m,\end{aligned}}

(d)

gdzie $\mathbf {a} =(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})^{T}.$

Zobacz też edytuj

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Aproksymacja_średniokwadratowa&oldid=62269043”