Belka na podłożu sprężystym

Belka na podłożu sprężystym może stanowić model obliczeniowy dla takich elementów konstrukcyjnych jak szyny kolejowe i tramwajowe oraz ławy fundamentowe.

Wstęp

Belki takie o stałej sztywności giętnej $(EJ_{y}\equiv \mathrm {const} )$ mogą być obliczane na podstawie równania różniczkowego ich linii ugięcia $w(x)$ o postaci

$EJ_{y}{\frac {d^{4}w(x)}{dx^{4}}}=q(x)-k(x)w(x),\qquad {}$ (a)

gdzie przez $k(x)\,\mathrm {\left[{\tfrac {kG}{m^{2}}}\right]}$ oznaczono stałą charakteryzującą sprężystość podłoża. Taki model podłoża nazywany jest podłożem winklerowskim od nazwiska Winklera, który taki model zaproponował.

Można wykazać, że rozwiązaniem ogólnym równania (a) jest funkcja

${\begin{aligned}w(x)&=e^{\alpha x}(A\sin {\alpha x}+B\cos {\alpha x})\\[1ex]&+e^{-\alpha x}(C\sin {\alpha x}+D\cos {\alpha x}),\end{aligned}}\qquad {}$ (b)

gdzie $\textstyle {\alpha ={\sqrt[{4}]{\frac {k}{4EJ_{y}}}}}\,\left[{\tfrac {1}{\mathrm {m} }}\right],$ przy czym stałe $A,B,C,D$ zostają określone przez warunki brzegowe zagadnienia.

Przykład liczbowy 1

Rozważmy belkę nieskończenie długą, którą może być np. szyna tramwajowa. Obciążeniem belki jest pionowa siła skupiona $P.$ Przyjmiemy układ współrzędnych $0xz$ w punkcie przyłożenia siły. W odległości nieskończonej możemy przyjąć, że

$\lim _{x\to \infty }w(x)=0,\quad \lim _{x\to \infty }w^{'}(x)=0.\qquad {}$ (c)

Stąd na podstawie (c) otrzymujemy:

$A=B=0.$

Biorąc pod uwagę symetryczne działanie obciążenia, możemy przyjąć, że

$\lim _{x\to 0+}w^{'}(x)=0.\qquad {}$ (d)

Z symetrii wynika również, że odpór gruntu z prawej połowy belki musi być równy ${\frac {P}{2}}$ skąd

$Q(0+)=-{\frac {P}{2}}\quad \to \quad EJ_{y}w^{'''}(0+)=-{\frac {P}{2}}.\qquad {}$ (e)

Na podstawie (d) i (e) otrzymujemy

$C=D={\frac {P}{8EJ_{y}\alpha ^{3}.}}$

Mamy więc dla $x>0$

$w(x)={\frac {P}{8EJ_{y}\alpha ^{3}}}e^{-\alpha x}(\sin \alpha x+\cos \alpha x),$

$w^{'}(x)={\frac {P}{4EJ_{y}\alpha ^{2}}}e^{-\alpha x}\sin \alpha x,$

$M_{y}(x)={\frac {P}{4\alpha }}e^{-\alpha x}(\sin \alpha x-\cos \alpha x),$

$Q_{z}(x)=-{\frac {P}{2}}e^{-\alpha x}\cos \alpha x.$

Przykład liczbowy 2

Tę samą belkę co w przykładzie 1 obciążymy prawoskrętnym momentem skupionym $M$ przyłożonym w punkcie $x=0.$ Na podstawie (c) otrzymuje się $A=B=0.$ Biorąc pod uwagę symetrię geometrii układu i antysymetrię obciążenia względem osi $0z$ możemy przyjąć, że

$\lim _{x\to 0+}w(x)=0.\qquad {}$ (f)

skąd wynika, że $D=0.$

Mamy również

$M(0+)={\frac {M}{2}}\quad \to \quad EJ_{y}w^{''}(0+)={\frac {M}{2}}.\qquad {}$ (g)

Na podstawie (f) i (g) otrzymuje się $C=-{\frac {M}{4EJ_{y}\alpha ^{2}}}.$ Mamy więc dla $x>0$

$w(x)=-{\frac {M}{4EJ_{y}\alpha ^{2}}}e^{-\alpha x}\sin \alpha x,$

$w(x)^{'}={\frac {M}{4EJ_{y}\alpha }}e^{-\alpha x}(\sin \alpha x-cos\alpha x),$

$M_{y}(x)={\frac {M}{2}}e^{-\alpha x}\cos \alpha x,$

$Q_{z}(x)=-{\frac {M\alpha }{2}}e^{-\alpha x}(\sin \alpha x+\cos \alpha x).$

Linki zewnętrzne

• Belka na podłożu sprężystym 1. limba.wil.pk.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2015-05-29)].
• Belka na podłożu sprężystym 2
• Belka na podłożu sprężystym 3
• Belka na podłożu sprężystym 4