Całka Volkenborna

W analizie p-adycznej, całka Volkenborna jest narzędziem stosowanym do całkowania funkcji określonych na zbiorze liczb p-adycznych.

Definicja

Niech $f\colon \mathbb {Z} _{p}\rightarrow \mathbb {C} _{p}$ będzie lokalnie analityczną funkcją z $\mathbb {Z} _{p},$ pierścienia całkowitych liczb p-adycznych, w $\mathbb {C} _{p},$ uzupełnienie algebraicznego domknięcia $\mathbb {Q} _{p},$ ciała ułamków tego pierścienia. Oznacza to, że dla każdego punktu $x\in \mathbb {Z} _{p}$ istnieje otoczenie, w którym funkcja $f$ rozwija się w zbieżny szereg potęgowy. Całka Volkenborna jest wtedy określona przez

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).$

Historia

Na przestrzeni ciągłych funkcji $\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}$ nie istnieje niezmiennicza na przesunięcia forma liniowa. Pomysł, by całkować funkcje p-adycznych mieli już F. Thomas oraz F. Bruhat. Definicja ich całki okazała się być jednak zbyt ograniczona dla celów analizy oraz teorii liczb.

Arnt Volkenborn rozwinął w swojej pracy dyplomowej na Uniwersytecie Kolońskim w 1971 roku uogólnioną całkę p-adyczną, która później została nazwana jego imieniem. Wszystkie lokalnie analityczne funkcje, włączając w to szeregi Laurenta, są całkowalne. Całka ta znalazła zastosowanie przy obliczaniu tak zwanych uogólnionych p-liczb Bernoulliego i innych p-adycznych funkcji.

Własności

Z równości

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)$

wynika, że całka nie jest niezmiennicza na przesunięcia.

Jeżeli $P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p},$ to

$\int _{P^{t}}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,\mathrm {d} x.$

Przykłady

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,\mathrm {d} x=B_{k},$ k-ta liczba Bernoulliego.

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,\mathrm {d} x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {\log(1+a)}{a}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {a}{e^{a}-1}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,\mathrm {d} u=\psi _{p}(x),$   gdzie $\psi _{p}$ to p-adyczna funkcja digamma.

Bibliografia

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, s. 341–373. pdf
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, ISSN 0025-2611, s. 17–46. pdf
• Alain M. Robert: A Course on p-adic Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 198). Springer, New York u. a. 2000, ISBN 0-387-98669-3, s. 263–279.
• Min-Soo Kim, Jin-Woo Son: Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers. In: Bulletin of the Korean Mathematical Society. Bd. 44, Nr. 1, 2007, ISSN 1015-8634, S. 1–12, online.