Całka podwójna

Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych $z=f(x,y){:}$

$\iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy.$

Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną $z=0$ a powierzchnią $z=f(x,y).$

Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.

Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli $D$ jest obszarem normalnym względem osi OX, tzn. $D=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x)\},$ to

$\iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy{\bigg )}\;dx.$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY). Jeżeli obszar $D$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych

Załóżmy, że obszar regularny domknięty $D$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego $\Omega$ we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

$\Phi =\{x=x(u,v),\ y=y(u,v)\},$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar $\Omega ,$ oraz

którego jakobian $J={\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$ jest różny od zera wewnątrz $\Omega ,$

zaś $f$ jest dowolną funkcją ciągłą w $D.$ Wtedy

$\iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\iint \limits _{\Omega }f(x(u,v),\ y(u,v))|J|\;du\;dv.$

Uwaga. $|J|$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś $x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}},\ x'_{v}={\frac {\partial x}{\partial v}},\ y'_{u}={\frac {\partial y}{\partial u}},\ y'_{v}={\frac {\partial y}{\partial v}}$ oznaczają pochodne cząstkowe.

Zobacz też

• całka powierzchniowa