Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja $\psi (x)$ jest różniczkowalna w $D$
• $I=\psi (D)$ jest przedziałem
• Funkcja $g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I,$ tzn. $G'(t)=g(t)$ dla $t$ należących do $I$
• $f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D$

to funkcja $f$ jest całkowalna w $D$ oraz:

$\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

$\int f(g(x))g'(x)dx,$

to można zmienić podstawę całkowania na $g(x){:}$

$\int f(g(x))dg(x).$

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja $f$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja $g$ określona na przedziale $[a;b]$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• $g'(x)\neq 0$ dla każdego $x$ z przedziału $(a;b).$
• Obraz funkcji $g$ zawiera się w dziedzinie funkcji $f.$

Wówczas:

$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt$

Przykłady

• Obliczając całkę $\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx,$ zastosować można podstawienie $\ln(x)=t,$ tzn. ${\tfrac {dx}{x}}=dt,$ więc:

$\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(x)+C.$

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

$\int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C.$

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R(\sin x,\cos x)$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}.$ Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus $(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\cos x$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus $(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\sin x$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie $(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\operatorname {tg} x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

$t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}$

${\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} t$

$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt$

zachodzi:

$\sin x={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}$

$\cos x={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

W przypadku podstawienia $t=\operatorname {tg} x$ mamy dla funkcji postaci $R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x){:}$

$x=\operatorname {arctg} t,$ $dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}$

$\sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}$

$\cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}$

$\sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

$\int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=$

$=\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1|+C$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci $R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x),$ gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x.$ Wobec tego otrzymuje się:

$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}},$

$dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t.$

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}.$

Zachodzi:

$ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}},$

$dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}.$

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}.$

Wtedy gdy $(a>0)\vee (b^{2}-4ac>0),$ to da się tak dobrać $\alpha ,$ aby $\lambda >0.$

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $ax^{2}+bx+c.$ Przyjmuje się wtedy:

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1}).$ Stąd:

$(x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}},$

$dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right).$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx,$ gdzie $a$ i $b$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz $m,n$ i $p$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto $p={\frac {q}{r}},$ gdzie $q,r$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy $p$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy ${\frac {m+1}{n}}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie $t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.$
• gdy ${\frac {m+1}{n}}+p$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie $t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.$

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• $\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\sinh t$ lub $x=a\operatorname {tg} t$
• $\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\cosh t$ lub $x=a\sec t$
• $\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\operatorname {tgh} t$ lub $x=a\sin t$

Inne podstawienia

• Całki typu $\int R(e^{x})dx$ obliczamy przez podstawienie $e^{x}=t.$ Stąd: $x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}.$
• Całki typu $\int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\dots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx,$ gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając ${\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k},$ gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części