Charakterystyka Eulera

parametr niektórych przestrzeni topologicznych

Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-Poincarégo[1][2]niezmiennik topologiczny[3] początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.

Powierzchnie wielościanów wypukłych edytuj

 
Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu      ).

Wprowadźmy oznaczenia:

  •   – liczba wierzchołków,
  •   – liczba ścian,
  •   – liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą   dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako[2]:

 

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

 

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem  

Własność ta została po raz pierwszy zauważona[4] (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre[5].

Wielościany dowolne edytuj

Ta sama definicja (czyli  ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.

Definicja ogólna edytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako[6]

 

gdzie   jest rangą  -tej grupy homologii (tj.  -tą liczbą Bettiego) przestrzeni   Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.

W przypadku, gdy   jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa

 

gdzie   oznacza liczbę komórek wymiaru   W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych   oznacza liczbę  -wymiarowych sympleksów.

Powierzchnie edytuj

Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.

Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera
Sfera   2
Torus   0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem)   0
Butelka Kleina   0
Płaszczyzna rzutowa rzeczywista   1
Dwie sfery (niepołączone)   2 + 2 = 4
  niepołączonych sfer  

Uogólnienia edytuj

  • Jeżeli   jest skończonym wielościanem, to   jest równa liczbie Lefschetza identyczności[6]  
  • Niech   będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez   jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz   wymiaru   gdzie   jest liczbą morfizmów   Jeżeli istnieją takie   że
  to  

Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii   Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii   jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa[7]  

Aksjomatyzacja edytuj

Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną[8][9] całkowitoliczbową funkcją   określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:

(1) 

(2) 

dla dowolnej pary wielościanów  

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 44, Definicja 9.1.
  2. a b Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 43–48.
  3. charakterystyka Eulera–Poincarégo, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-12-20].
  4. M. Friedman, A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins.
  5. D.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008).
  6. a b E.H. Spanier, Topologia algebraiczna, Warszawa (1972).
  7. T. Leinster, The Euler characteristic of a category, Documenta Mathematica, 13 (2008) s. 21–49.
  8. Charakterystyka Eulera, czyli ewolucja wzoru Eulera dla wielościanów [online], beta-iks.pl [dostęp 2021-04-25] (pol.).
  9. Ch. Watts, On the Euler Characteristic of Polyhedra, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 304-306.

Linki zewnętrzne edytuj