Ciąg Mayera-Vietorisa

W topologii algebraicznej ciąg Mayera-Vietorisa – ciąg dokładny wiążący ze sobą grupy homologii singularnej dwu przestrzeni, ich sumy oraz części wspólnej. Ciąg Mayera-Vietorisa jest narzędziem pozwalającym m.in. obliczać grupy homologii przestrzeni będących sumą innych przestrzeni, których grupy homologii znamy.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną taką, że $A,B\subseteq X$ oraz wnętrza $A$ i $B$ pokrywają $X.$ Można wtedy utworzyć następujący ciąg dokładny:

$\cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0,$

gdzie i: A∩B ↪ A, j: A∩B ↪ B, k: A ↪ X, and l: B ↪ X są włożeniami a $\oplus$ oznacza sumę prostą grup abelowych.

Homologia zredukowana

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zredukowanych grup homologii pod warunkiem że przecięcie $A\cap B$ jest niepuste.

Podstawowe zastosowania

n-sfera

Przykładowy rozkład $\mathbb {S} ^{2}$ na sumę dwu podprzestrzeni homeomorficznych z $\mathbb {D} ^{2}$

Niech $X=\mathbb {S} ^{n}$ i niech $A,B$ będą dowolnymi podzbiorami $\mathbb {S} ^{n}$ homeomorficznymi z $\mathbb {D} ^{n+1}$ takimi, że część wspólna jest homotopijnie równoważna $\mathbb {S} ^{n-1}$ (np. $A=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{p\},B=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{q\}$), gdzie $p,q\in \mathbb {S} ^{n}$ oraz $p\neq q.$ Wtedy $A$ oraz $B$ mają trywialne zredukowane grupy homologii, dodatkowo przekrój $A\cap B$ jest homotopijnie równoważny z $S^{n-1}.$ W takim razie nietrywialna część ciągu Meyersa-Vietorisa daje:

$\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots$

Z dokładności ciągu natychmiast otrzymujemy, że ∂_* jest izomorfizmem grup przy użyciu indukcji matematycznej i znajomości zredukowanej homologii S⁰ pozwala obliczyć:

${\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k\\0&{\mbox{if }}n\neq k\end{cases}}.$

Butelka Kleina

Rozkład butelki Kleina na dwie wstęgi Möbiusa: $A$ (niebieska część) oraz $B$ (czerwona część).

Bardziej zaawansowanym przykładem zastosowania ciągu Mayeraa-Vietorisa jest wyznaczenie grup homologii butelki Kleina $X.$ Można rozbić butelkę Kleina na dwa podzbiory homeomorficzne ze wstęgą Möbiusa, a w takim razie homotopijnie równoważne okręgowi. Okazuje się, że także ich część wspólna jest homotopijnie równoważna okręgowi. W takim razie nietrywialna część ciągu Mayera-Vietorisa daje:

$0\to H_{2}(X)\to \mathbb {Z} \ \xrightarrow {\overset {}{\alpha }} \ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to \,H_{1}(X)\to 0.$

Trywialna część ciągu pokazuje trywialne homologie dla wymiarów wyższych niż 2. Mapa $\alpha$ (dla zwyczajnych baz pętli na wstęgach Möbiusa) wysyła 1 do (2, −2) (okrąg będący krawędzią wstęgi zawija się dwukrotnie dookoła wstęgi). W takim razie $\alpha$ jest iniekcją co wymusza $H_{2}(X)=0.$ Finalnie, wybierając (1, 0) i (1, −1) jako bazę Z², otrzymujemy:

${\tilde {H}}_{n}(X)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1\\0&{\mbox{if }}n\neq 1\end{cases}}.$

Bukiet dwóch przestrzeni

Rozkład bukietu dwóch sfer $X$

Niech $X$ będzie bukietem dwóch przestrzeni $K$ oraz $L$ oraz że punkt bazowy bukietu jest retraktem otwartych otoczeń leżących odpowiednio w $K$ oraz $L.$ Przyjmując $A=K\cup V$ oraz $B=U\cup L$ (patrz rysunek) mamy $A\cup B=X.$ Przestrzeń $A\cap B=U\cup V$ jest ściągalna.

Wówczas otrzymujemy:

${\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)$

dla wszystkich $n.$ Wynik ten jest ogólniejszą wersją twierdzenia Seiferta-van Kampena (a dla $n=0$ jest abelianizacją tego twierdzenia). W szczególnym przypadku dwóch sfer, korzystając z homologii sfer, otrzymujemy:

${\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2\\0&{\mbox{if }}n\neq 2\end{matrix}}\right..$

Bibliografia

• R. Duda: Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna. PWN, 1986.brak strony w książce
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-79540-1.brak strony w książce
• E.H. Spanier: Topologia algebraiczna. PWN, 1972.brak strony w książce