Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny, postęp geometryczny – ciąg liczbowy – skończony bądź nie – w którym każdy wyraz oprócz początkowego jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu. Czasem zakłada się dodatkowo, że liczba ta jest różna od zera.

Boki zacieniowanych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1/2, a pola powierzchni tych kwadratów – ciąg geometryczny o ilorazie 1/4.

Formalnie: niech $I=\{1,2,3,\dots ,n\}$ lub $I=\mathbb {N} .$ Ciąg liczbowy $(a_{n})_{n\in I}$ nazywa się geometrycznym, jeśli:

$\exists q\ \forall n\in I\setminus \{1\}:a_{n}=q\cdot a_{n-1}.$

Ciąg geometryczny można traktować jako mnożeniowy (multyplikatywny) odpowiednik ciągu arytmetycznego.

Przykłady

• Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, ...) ma iloraz równy 3.
• Ciąg $(-4,2,-1,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{4}},\dots )$ ma iloraz równy $-{\tfrac {1}{2}}.$
• Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, ...) ma iloraz równy 0.
• Ciąg (0, 0, 0, 0, 0, ...) nie ma jednoznacznego ilorazu. Założenie, że iloraz jest niezerowy, nie wyklucza tego przykładu. Mimo to ciąg zerowy bywa wykluczany z grona geometrycznych przez pewne jeszcze węższe definicje, podane dalej.

Definicje

• Z początkowej, rekurencyjnej definicji wynika wzór: $a_{n}=q^{n-1}a_{1}.$ Oznacza to, że przy dodatnich ilorazach ciąg geometryczny jest przykładem funkcji wykładniczej.

• Ciąg geometryczny wyróżnia się stałym stosunkiem wyrazów, co tłumaczy nazwę liczby $q{:}$ jeśli $a_{n}\neq 0,$ to ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q.$ Ta definicja pociąga za sobą $q\neq 0,$ ponieważ zerowy iloraz oznaczałby zerowanie się licznika.

• Jeśli $a_{i-1},a_{i},a_{i+1}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $(a_{n}),$ to prawdziwy jest wzór: $a_{i}^{2}=a_{i-1}a_{i+1}.$ Wynika stąd, że jeśli wszystkie wyrazy są nieujemne, to każdy niekrańcowy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Własności

Ciąg geometryczny może być:

• ograniczony lub nie;
• okresowy lub nie;
• monotoniczny lub nie;
• zbieżny, nawet jeśli nie jest monotoniczny;
• rozbieżny do nieskończoności;
• całkiem rozbieżny;
• arytmetyczny lub nie.

Ciąg geometryczny o nieujemnym ilorazie (q⩾0) jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest nieujemny, a iloraz jest:

• równy 0, to ciąg jest ostatecznie stały, najdalej od drugiego wyrazu;
• większy od 0, ale mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg zbiega do zera;
• równy 1, to ciąg jest stały;
• większy od 1, to przy zerze na początku ciąg jest stały, ale przy dodatnim początku wyrazy rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.

Za to gdy początek jest dodatni, a iloraz jest:

• mniejszy od 0, a większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg zbiega do zera.
• równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
• mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).

Powyższą listę przypadków podsumowuje tabela. Zbieżność ciągu zaznaczono zielonym tłem.

a1	q
	< –1	–1	> –1, < 0	0	> 0, < 1	1	> 1
< 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy wzrost do zera	ciąg stały	wykładniczy spadek do minus nieskończoności
0	ciąg stały
> 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy spadek do zera	ciąg stały	wykładniczy wzrost do nieskończoności

Suma wyrazów

Jeśli ciąg geometryczny $(a_{n})$ ma iloraz $q\neq 1,$ to suma jego $n$ początkowych wyrazów wynosi:

$S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}q^{k-1}a_{1}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}.$

Przypadek $q=1$ sprowadza się do sumy ciągu stałego, czyli $S_{n}=na_{1}.$

Jeśli ciąg $(a_{n})$ jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu $(a_{n})$ – zob. szereg geometryczny.