Cząstka swobodna

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ({\vec {x}},t)+U(x)\psi ({\vec {x}},t)=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}$

z potencjałem $U(x)=0$ (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)

$\psi ({\vec {x}},t)=\sum _{i}c_{k}\exp(\mathrm {i} {\vec {k}}_{i}{\vec {x}}-\mathrm {i} \omega _{i}t),$

gdzie ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ jest pędem cząstki, ${\vec {k}}={\vec {e}}k$ $({\vec {e}}\cdot {\vec {e}}=1)$ a $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego ${\vec {e}}$ dla fali monochromatycznej o długości $\lambda .$ Energia takiej fali jest równa:

$E_{i}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}_{i}^{2}}{2m}}=\hbar \omega _{i}.$

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej:

$v_{\mathrm {gi} }={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial k_{i}}}.$

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy:

${\vec {v}}_{\mathrm {g} }={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}={\frac {\vec {p}}{m}},$

podobnie jak w mechanice klasycznej.