Domknięcie pierwiastnikowe

Domknięcie pierwiastnikowe – w teorii ciał zbiór elementów pierwiastnikowych danego ciała, dla ciała $K$ oznaczany przez $r(K)$.

Pojęcie elementu pierwiastnikowego wywodzi się z intuicyjnego pojmowania liczb, które można uzyskać z elementów danego ciała za pomocą dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania. Formalnie definiuje się je jednak w sposób bardziej skomplikowany. Mianowicie element $a$ należący do domknięcia algebraicznego ciała $K,$ a więc $a\in a(K),$ jest elementem pierwiastnikowym względem ciała $K$ (inaczej mówiąc, należy do jego domknięcia pierwiastnikowego, $a\in r(K)$), jeżeli istnieją takie ciała $K_{i}$ począwszy od $K_{0}=K$ aż do $K_{r},$ że w każdym wypadku:

• po pierwsze $K_{i}$ zawiera się w $K_{i+1}$ $(K_{i}\subset K_{i+1})$
• po drugie ciało $K_{i+1}$ stanowi ciało rozkładu wielomianu wziętego z $K_{i}[x]$ względem ciała poprzedniego $K_{i},$ przy czym postać rzeczonego wielomianu zależy od charakterystyki ciała $K$ (a co za tym idzie, ciał $K_{i}$). W przypadku ciał o zerowej charakterystyce $(\chi _{K}=0)$ wielomian ma postać $f(x)=x^{n_{i}}-a_{i}.$ W razie niezerowej charakterystyki, wyrażającej się liczbą pierwszą $p$ $(\chi _{K}=p\neq 0),$ sytuacja jest bardziej skomplikowana. Rozpatrywany wielomian $f$ może mieć postać taką sama, jak uprzednio $((x)=x^{n_{i}}-a_{i})$ bądź też $f(x)=x^{p}-x-a_{i}$.

Początkowo przyjmuje się, że występujące w powyższych wzorach liczby $n_{i}$ mogą być dowolnymi niezerowymi naturalnymi. Dowodzi się jednak dalej, że można zawsze w ten sposób dobrać ciąg ciał $K_{i},$ żeby $n_{i}$ zawsze były liczbami pierwszymi różnymi od charakterystyki ciała. W takim wypadku $(K_{i+1}:K_{i})$ nie przekracza nigdy wartości $n_{i}$.

Jeżeli dane ciało $K$ ma rozszerzenie $L$ (a więc $K\subset L$) i jeżeli dla każdego elementu $b$ wziętego z $L$ (czyli $b\in L$) spełnia on powyższe warunki (to znaczy jeżeli każdy element ciała $L$ jest pierwiastnikowy względem $K$), to takie rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem pierwiastnikowym. Oczywiście z tak sformułowanej definicji wynika, że każde rozszerzenie pierwiastnikowe $L$ ciała $K$ musi zawierać się w jego domknięciu pierwiastnikowym $r(K),$ a więc $L\subset r(K)$.

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.