Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny a. dodekaedr (z gr.) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}.

Dwunastościan foremny

Stereoskopowa animacja składania i obrotu dwunastościanu foremnego

Przykładowa siatka dwunastościanu foremnego

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitej:

$S=3\ a^{2}\ {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}6457\ a^{2}$

• Objętość:

$V={\frac {1}{4}}\ a^{3}\ (15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}6613\ a^{3}$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych o wpisane kule o takim samym promieniu zachodzi zależność:

${\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$

gdzie $V_{n},\;S_{n}$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni $n$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanej:

$r={\frac {a}{20}}{\sqrt {10(25+11{\sqrt {5}})}}\approx 1{,}1135\ a$

• Promień kuli stycznej do krawędzi:

$\delta ={\frac {a(3+{\sqrt {5}})}{4}}$

• Promień kuli opisanej:

$R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {3}}\ (1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}4013\ a$

• Kąt między sąsiednimi ścianami:

$\alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116{,}6^{\circ }$

• Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwunastościan ścięty