Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero – dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Błąd przy próbie dzielenia przez zero na kalkulatorze

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący: niech $a=1$ i $b=1,$ wówczas skoro $a=b,$ to również $a^{2}=b^{2}$ oraz $a^{2}-b^{2}=0,$ a ze wzoru na różnicę kwadratów jest $(a-b)(a+b)=0.$ Dzieląc stronami przez $a-b,$ uzyskuje się

${\frac {(a-b)(a+b)}{a-b}}={\frac {0}{a-b}},$

co jest równoważne $a+b=0,$ a więc $1+1=0,$ skąd $2=0.$ Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez $a-b=1-1=0.$

Wyjaśnienie

W grupie abelowej $\mathbf {G}$ z działaniem ‘$\cdot$’ każde równanie postaci

$a=b\cdot x$

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie $\mathbf {G}$ zdefiniowana jest funkcja, która każdej parze elementów $a,b\in \mathbf {G}$ przypisuje dokładne jeden element oznaczany ${\tfrac {a}{b}}.$ Jest to więc działanie odwrotne względem ‘$\cdot$’ nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej – odejmowaniem).

Jeśli grupa $\mathbf {G}$ jest grupą multiplikatywną pewnego ciała $\mathbf {K} ,$ to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała $\mathbf {K} .$

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

• $0=b\cdot x,\ \ b\neq 0$
  Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie $x=0.$ Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
• $a=0\cdot x,\ \ a\neq 0$
  Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej – w dowolnym pierścieniu) zachodzi $0\cdot x=0$ dla każdego $x\in \mathbf {K} .$
• $0=0\cdot x$
  Równanie to jest nieoznaczone, tzn. jest spełnione dla każdego elementu ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia).

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci ${\tfrac {a}{b}}$ dla $b\neq 0$ ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności ${\tfrac {0}{b}}=0$ dla dowolnego $b\neq 0.$ Dołączenie warunku ${\tfrac {0}{b}}=0,$ $b\neq 0$ do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu ${\tfrac {a}{0}},$ $a\neq 0$ nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu ${\tfrac {0}{0}}$ odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

W testowaniu oprogramowania dzielenie przez zero może zostać wyłapane poprzez zgadywanie błędów.

Oznaczenia

Choć symbol ${\tfrac {a}{0}}$ dla dowolnego $a,$ również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów czy granic funkcji. Jeśli $a\neq 0$ jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest $\pm \infty$ (w zależności od znaku tej liczby). Symbol ${\tfrac {0}{0}}$ oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji – reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też

• dzielnik zera

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Michał Szurek, Dlaczego nie dzielimy przez zero?, „Młody Technik”, mlodytechnik.pl [dostęp 2023-11-24].
• Małgorzata Mikołajczyk, Dlaczego nie można dzielić przez zero?, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 5 sierpnia 2015 [dostęp 2023-11-24].
• Nagrania Khan Academy na YouTube [dostęp 2023-11-24]:
  • Dlaczego dzielenie przez zero nie ma sensu?, 24 marca 2013;
  • Dlaczego matematykom nie udało się określić wyniku dzielenia przez zero?, 19 czerwca 2013.
  • Dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony, 19 czerwca 2013.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Division by Zero, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].