Ekstrapolacja (matematyka)

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego są dostępne dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wylicza się jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem $h.$ Wynikiem jej działania jest $F(h).$ Z wartością dokładną ma się do czynienia tylko, jeśli $h=0$. Trudności obliczeniowe rosną gdy $h$ maleje. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia $(p_{1}<p_{2}<p_{3}<\dots )$

$F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}\dots$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

$F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})\dots q>1$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

$F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}\dots$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa $h_{0}$ i liczba $q>1,$ stosuje się wzór rekurencyjny:

$A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})$ dla $m=0,1,2\dots$

$A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}$ dla $k=1,2,3\dots$

$F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}$ dla $n=2,3,4\dots$

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots$

Różnica progresywna

$D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots$

$p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,\dots$

Zobacz też

• ekstrapolacja trendów