Element objętości

Elementem objętości rozmaitości M w punkcie $x\in M$ nazywamy taki k-tensor antysymetryczny $dM(x)\in \Lambda ^{k}(T_{x}M),$ że dla każdej bazy $(v_{1},\dots ,v_{k})$ przestrzeni $T_{x}M$ zachodzi: $dM(x)(v_{1},\dots ,v_{k})=|R(v_{1},\dots ,v_{k})|*\operatorname {sgn}(v_{1},\dots ,v_{k}),$ gdzie $|R(v_{1},\dots ,v_{k})|$ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach $(v_{1},\dots ,v_{k}).$

Równoważna definicja

Elementem objętości M w punkcie $x\in M$ nazywamy $dM(x)\in \Lambda ^{k}(T_{x}M)$ o tej własności, że $dM(x)(e_{1},\dots ,e_{k})=1,$ gdzie $(e_{1},\dots ,e_{n})$ jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej $T_{x}M.$ (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$).

Problem

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

Zastosowanie

Objętość rozmaitości M określa się jako $\int \limits _{M}dM,$ o ile ta całka istnieje, co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

Bibliografia

• Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000.
• M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.