elipsoida spłaszczona
elipsoida wydłużona
Elipsoida obrotowa (sferoida ) – powierzchnia lub bryła powstała na skutek obrotu elipsy wokół jej osi symetrii . W przypadku Ziemi osią tą jest mała oś elipsy, czyli oś ziemska[1]
Elipsoida obrotowa to taka elipsoida , której co najmniej dwie półosie mają równą długość. Szczególnym przypadkiem elipsoidy obrotowej jest sfera , co ma miejsce, gdy obracająca się elipsa ma równe półosie, tzn. jest okręgiem , czyli elipsoida ma wszystkie trzy półosie równej długości.
Wzory i właściwości
edytuj
Niech
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
[1]
Równanie parametryczne elipsoidy obrotowej:
x
=
a
sin
v
cos
u
{\displaystyle x=a\sin v\cos u}
y
=
a
sin
v
sin
u
{\displaystyle y=a\sin v\sin u}
z
=
c
cos
v
.
{\displaystyle z=c\cos v.}
Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych :
x
2
+
y
2
a
2
+
z
2
c
2
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}
gdzie
u
∈
{
0
,
τ
}
,
{\displaystyle u\in \{0,\tau \},}
v
∈
{
o
,
π
}
.
{\displaystyle v\in \{o,\pi \}.}
Pole powierzchni bryły wynosi:
S
=
τ
a
2
+
π
c
2
e
1
ln
(
1
+
e
1
1
−
e
1
)
=
τ
a
2
+
τ
a
c
e
2
sin
−
1
e
2
=
τ
(
a
2
+
c
2
e
1
tgh
−
1
e
1
)
=
τ
(
a
2
+
c
2
2
F
1
(
1
2
,
1
;
3
2
;
1
−
c
2
a
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\tau a^{2}+{\frac {\pi c^{2}}{e_{1}}}\ln \left({\frac {1+e_{1}}{1-e_{1}}}\right)\\&=\tau a^{2}+{\frac {\tau ac}{e_{2}}}\sin ^{-1}e_{2}\\&=\tau (a^{2}+{\frac {c^{2}}{e_{1}}}\operatorname {tgh} ^{-1}e_{1})\\&=\tau \left(a^{2}+c_{2}^{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}}{,}1;{\frac {3}{2}};1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\right)\right)\end{aligned}}}
gdzie:
e
1
=
1
−
c
2
a
2
,
{\displaystyle e_{1}={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}
e
2
=
1
−
a
2
c
2
.
{\displaystyle e_{2}={\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}}.}
F
1
{\displaystyle F_{1}}
funkcja hipergeometryczna .Objętość bryły wynosi:
4
π
a
2
c
3
.
{\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}c}{3}}.}
