Energia kinetyczna

Energia kinetyczna $(E_{k})$ z gr. kinēma ‘ruch’ – energia ciała związana z ruchem (po gr. κίνησις ‘ruch’) jego masy. Jednostką $E_{k}$ jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian $E_{k}$ w energię potencjalną $(E_{p})$ i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło).

Wagony kolejki górskiej mają największą wartość energii kinetycznej u dołu trasy. Podczas wznoszenia się, energia ta zamienia się w energię potencjalną grawitacji. Przy pominięciu oporów ruchu suma tych dwóch energii pozostaje stała.

Sumę $E_{k}+E_{p}$ nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii, $E_{k}+E_{p}$ jest stała w układzie idealnym. W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat $E_{k}$ zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej.

Mechanika klasyczna

Dla ciała o masie $m$ i prędkości $v$ dużo mniejszej od prędkości światła w próżni ($v\ll c,$ gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.$

Wzór ten można wyprowadzić ze wzorów na pracę i siłę:

$W=F\cdot s$

$F=m\cdot a$

$F=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}$

$W=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}\cdot s$

$W=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}\cdot {\frac {v_{p}+v_{k}}{2}}\cdot t$

Gdy prędkość początkowa $v_{p}=0,$ wtedy:

$W=m\cdot {\frac {v_{k}}{t}}\cdot {\frac {v_{k}}{2}}\cdot t$

$W=m\cdot {\frac {v_{k}^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}mv_{k}^{2},$

gdzie:

$W$ – praca,

$F$ – siła,

$a$ – przyspieszenie,

$s$ – droga,

$t$ – czas,

$m$ – masa,

$v_{p},$ $v_{k}$ – prędkość początkowa i końcowa.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbb {\omega } {\hat {I}}\mathbb {\omega } ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j},$

gdzie:

$\mathbb {\omega }$ – prędkość kątowa,

${\hat {I}}=(I_{ij})$ – tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},$

gdzie:

$I$ – odpowiedni moment bezwładności,

$\mathbb {\omega }$ – prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2},$

gdzie:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)$

lub

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right).$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej ${\frac {v}{c}}$

${\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots$

Zatem:

$E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots \right)={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\dots$

Dla prędkości $v$ małych w porównaniu z prędkością światła w próżni $(v\ll c)$ można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_{k}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}.$

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej ${\hat {T}}.$ W ramach nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, operator energii kinetycznej dla cząstki o masie $m$ ma postać:

${\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.$

gdzie ${\hat {p}}$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji $\epsilon _{k\nu }$ ma postać

${\hat {T}}=\sum _{\mathbf {k} \nu }\epsilon _{\mathbf {k} \nu }a_{\mathbf {k} \nu }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \nu },$

gdzie symbol $\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu =\{\sigma \}$ dla spinu, lub $\nu =\{\sigma ,n\}$ dla spinu i pasma $n$).