Falki

Falki (ang. wavelet) – rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiorze liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

$\psi _{j,k}(t)=\psi (2^{j}\cdot t+k),$

gdzie:

$j,k$ – liczby całkowite,

$\psi$ – funkcja-matka,

$\psi _{j,k}$ – falka o skali $j$ i przesunięciu $k$ (zwana też funkcją falkową).

Funkcje te dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności, zaś ich suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej całkowalnej z kwadratem, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej całkowalnej funkcji okresowej (zob. transformata Fouriera).

$f(t)=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }2^{j}\langle f,\psi _{j,k}\rangle \cdot \psi _{j,k}(t)\qquad \forall f\in L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ).$

Falki są używane w analizie i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, w kompresji obrazu i dźwięku, do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych oraz w wielu innych dziedzinach. Najprostsze z nich to falki Haara.

Funkcja skalująca $\phi$ i falka $\psi$	Amplitudy spektrum częstotliwościowego

Zobacz też

• kompresja falkowa
• transformacja falkowa

Bibliografia

• JanJ. Białasiewicz JanJ., Falki i aproksymacje, Warszawa: WNT, 2000, ISBN 83-204-2557-3, OCLC 749268210 .brak strony (książka)
• PrzemysławP. Wojtaszczyk PrzemysławP., Teoria falek, Warszawa: PWN, 2000, ISBN 83-01-13322-8, OCLC 749899950 .brak strony (książka)
• Jacek WitoldJ.W. Hennel Jacek WitoldJ.W., ZbigniewZ. Olejniczak ZbigniewZ., Jak zrozumieć falki. Podstawy falkowej analizy sygnałów, Kraków: ZamKor, 2010, ISBN 978-83-60793-73-2, OCLC 750751499 .brak strony (książka)
• Mariusz Ziółko: Modelowanie zjawisk falowych. Kraków: Wydawnictwa AGH, 2000. ISBN 83-88-40855-0.brak strony w książce

• Przetwarzanie sygnałów cyfrowych – Zastosowanie falek (materiały dydaktyczne AGH)