Forma Killinga
Forma Killinga – symetryczna forma dwuliniowa, która odgrywa fundamentalną rolę w teorii grup Liego i algebr Liego. Nazwa pochodzi od Wilhelma Killinga.
Definicja edytuj
Rozważmy algebrę Liego nad polem skalarnym Z każdym elementem algebry można powiązać sprzężony endomorfizm (zapisywany też symbolem ), przypisujący danemu elementowi algebry wartość nawiasu Liego elementu elementem tj.
![{\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde7131b403b5370e2b1953a25c135c22baaa670)
Jeżeli grupa jest skończenie wymiarowa, to ślad złożenia dwóch endomorfizmów jest nazywany formą Killinga algebry Liego
Forma Killinga jest formą biliniową symetryczną.
Elementy macierzowe formy edytuj
Niech oznaczają elementy bazy algebry Liego. Wtedy elementy macierzowe formy Killinga są dane wzorem
gdzie – indeks Dynkina reprezentacji algebry sprzężonej. Przy czym mamy
![{\displaystyle \left({\textrm {ad}}(T^{i})\circ {\textrm {ad}}(T^{j})\right)(T^{k})=[T^{i},[T^{j},T^{k}]]=[T^{i},{f^{jk}}_{m}T^{m}]={f^{im}}_{n}{f^{jk}}_{m}T^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eaddf16e1c97dc0e542b72199d30a519fa7324f)
– w powyższym wzorze zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina po powtarzających się indeksach; – stałe struktury algebry Liego. Liczba indeksuje kolumny, zaś indeks indeksuje rzędy macierzy Obliczenie śladu polega na sumowaniu wyrazów o indeksach dlatego forma przyjmuje postać
![{\displaystyle [\mathrm {ad} (T^{i})\mathrm {ad} (T^{j})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e150c866a2f26aa8fa5ad139958224549c2f063)
Forma Killinga jest najprostszym tensorem 2 rzędu, który można utworzyć ze stałych struktury.
Uwaga:
W powyższej definicji trzeba odróżnić indeksy dolne od górnych, ponieważ forma Killinga może być użyta do definicji tensora metrycznego rozmaitości, a wtedy istotne staje się to odróżnienie ze względy na inne reguły transformacji indeksu górnego od indeksu dolnego tensora.
Bibliografia edytuj
- Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts in Mathematics, 225, Springer-Verlag.
- Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press.
- Forma Killinga. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).