Funkcja Żukowskiego

Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\ni \zeta \to z\in \mathbb {C}$ określona wzorem:

$z=\lambda (\zeta )={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\zeta +{\frac {1}{\zeta }}{\Bigg )}.$

Przykład transformaty Żukowskiego. Okrąg (powyżej) jest przekształcany na profil Żukowskiego (poniżej)

Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi $\zeta =\chi +i\eta$ punkt $z=x+iy$ można określić następująco

${\begin{aligned}z&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\zeta +{\frac {1}{\zeta }}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}\chi +i\eta +{\frac {(\chi -i\eta )}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}+i{\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}{\Bigg )}.\end{aligned}}$

Zatem jej część rzeczywista jest równa $x={\frac {1}{2}}{\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}},$ a część urojona jest równa $y={\frac {1}{2}}{\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.$

W obszarze $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:

$z'=\lambda '(\zeta )={\frac {1}{2}}{\Bigg (}1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\Bigg )}.$

Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie $\zeta =1.$ Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.

Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i $\infty$.

Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka $-1\leqslant z\leqslant +1$ (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi $|\zeta |=r$ są odwzorowywane na elipsy o ogniskach $\pm 1$ i półosiach ${\frac {1}{2}}{\Bigg |}r\pm {\frac {1}{r}}{\Bigg |},$ a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni $z=\pm r(\cos \alpha \pm i\;\sin \alpha )$ dla $0\leqslant r<1$ są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach $\pm 1$ i półosiach $|\cos \alpha |,|\sin \alpha |$ z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol.

Przykłady profilów Żukowskiego

Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.

$|\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,\quad {\text{co daje}}\quad \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.$

Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa $x={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\chi (1+1)}{1}}{\Bigg )}=\chi ,$ a część urojona $y={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {\eta (1-1)}{1}}{\Bigg )}=0.$

Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział $\langle -1;1\rangle$ osi liczb rzeczywistych.

Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.

Przekształcenie Kármána-Trefftza

W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika ${\frac {1}{2}}$ funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.

$z=f(\zeta )=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}=S_{3}(S_{2}(S_{1}(\zeta ))),$

gdzie:

$S_{3}(u)=2{\frac {1+u}{1-u}},$

$S_{2}(v)=v^{2},$

$S_{1}(w)={\frac {w-1}{w+1}},$

czyli

$z=2{\frac {1+\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}}{1-\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}}}=2{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}}.$

Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:

${\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}\,={\frac {1}{\zeta }}\left(\zeta +1\right)^{2},\\z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}\,={\frac {1}{\zeta }}\left(\zeta -1\right)^{2}\end{aligned}}$

oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:

${\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.$

Rozwiązując to równanie względem $z$ uzyskuje się:

$z=2{\frac {\left(\zeta +1\right)^{2}+\left(\zeta -1\right)^{2}}{\left(\zeta +1\right)^{2}-\left(\zeta -1\right)^{2}}}=2{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}}}.$

Przykład przekształcenia Kármána-Trefftza. Okrąg powyżej w $\varsigma$-płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána-Trefftza poniżej, w $z$-płaszczyźnie. Użyto parametrów: $\mu _{x}=-0{,}08,$ $\mu _{y}=+0{,}08$ i $n=1{,}94.$

Przekształcenie Kármána-Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána-Trefftza – który jest obrazem przekształcenia okręgu z $\varsigma$-płaszczyzny w fizycznej $z$-płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego – ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána-Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta $\alpha$ w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem:

$z=n{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}+\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}},$

gdzie parametr $n$ jest nieco mniejszy od 2. Kąt $\alpha ,$ między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z $n$ następująco:

$\alpha =2\pi -n\pi \quad {\text{ i }}\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.$

Pochodna $dz/d\zeta ,$ potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:

${\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.$