Funkcja ograniczona

Funkcja ograniczona – funkcja, której zbiór wartości (obraz) jest ograniczony. Pojęcie to stosuje się w teorii porządku, topologii metrycznej i analizie funkcjonalnej – dotyczy funkcji o wartościach w zbiorach skierowanych, przestrzeniach metrycznych lub liniowo-topologicznych. Funkcję, która nie jest ograniczona, nazywa się nieograniczoną.

Ilustracja funkcji ograniczonej (czerwona) i nieograniczonej (niebieska). Dla funkcji ograniczonej da się znaleźć linię poziomą, której wykres nie przekracza, a dla funkcji nieograniczonej taka linia nie istnieje.

Dla funkcji rzeczywistych ograniczenie sprowadza się do zawarcia wszystkich wartości w pewnym przedziale ograniczonym lub równoważne do ograniczenia modułu wartości funkcji.

Dla funkcji w zbiorach skierowanych definiuje się też pewne uogólnienia ograniczenia, będące jego warunkami koniecznymi. Funkcja jest:

• ograniczona z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnego ustalonego elementu;
• ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnego ustalonego elementu;
• ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Przykłady i własności

• Funkcje rzeczywiste $f(x)=x,\;g(x)=x^{2}$ są nieograniczone, tak jak wszystkie wielomiany stopnia dodatniego.
• Funkcja kwadratowa $g(x)=x^{2}$ jest jednak ograniczona z dołu; wszystkie wielomiany stopnia parzystego są ograniczone jednostronnie.
• Homografie rzeczywiste nie są ograniczone, nawet jednostronnie.
• Niektóre funkcje wymierne są ograniczone, np. rozkład Cauchy’ego.
• Pierwiastniki mogą:
  • nie być ograniczone wcale, jak pierwiastek sześcienny;
  • ograniczone jednostronnie jak pierwiastek kwadratowy;
  • ograniczone (obustronnie) jak funkcja opisująca półokrąg: $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}};$
• Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału $[-1,1].$
• Odległość punktów (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry.
• Długość krzywej (np. obwód figury), pole powierzchni i objętość – przykłady miar, które z definicji są ograniczone z dołu przez zero.
• Prawdopodobieństwo – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1.

Funkcja odwrotna do ograniczonej nie musi być ograniczona; przykładowo funkcją odwrotną do arcus tangensa jest tangens obcięty do pewnego przedziału, w którym jednak nie jest ograniczony.

Twierdzenie Weierstrassa podaje warunek wystarczający na ograniczenie funkcji rzeczywistej. Mówi ono, że każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym musi być ograniczona.

Ciągi ograniczone

Pojęcie ograniczoności funkcji stosuje się w szczególności do ciągów punktów w przestrzeniach metrycznych i liniowo-topologicznych, na przykład do ciągów liczbowych. Podstawowe fakty:

• każdy ciąg zbieżny w takiej przestrzeni jest ograniczony;
• ograniczone ciągi rzeczywiste tworzą przestrzeń liniową oznaczaną ℓ^∞;
• lemat Bolzana-Weierstrassa mówi, że każdy rzeczywisty ciąg ograniczony ma punkty skupienia, a ich zbiór ma kresy – istnieją granice dolna i górna;
• monotoniczny ciąg ograniczony musi być zbieżny;
• ciąg monotoniczny musi być ograniczony przynajmniej jednostronnie;
• twierdzenie o dwóch ciągach podaje warunek wystarczający na to, by ciąg nieograniczony był rozbieżny do nieskończoności;
• twierdzenie o trzech ciągach podaje warunek wystarczający na to, by ciąg ograniczony był zbieżny.

Zobacz też

• operator ograniczony
• funkcja lokalnie ograniczona