Funkcja von Mangoldta

Funkcja von Mangoldta jest funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb. Jest przykładem ważnej funkcji, która nie jest ani multiplikatywna, ani addytywna.

Definicja

Funkcja von Mangoldta, oznaczana przez $\Lambda (n),$ jest zdefiniowana jako

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p,\quad &n=p^{k}\quad (k\in \mathbb {N} ),\\0,\quad &n\neq p^{k},\end{cases}}$

gdzie $p$ oznacza dowolną liczbę pierwszą, a $\log$ – logarytm naturalny.

Równoważnie, korzystając z odwracania Möbiusa i równości

$\log n=\sum _{d|n}\Lambda (d),$

możemy zdefiniować funkcję von Mangoldta jako

$\Lambda (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right),$

gdzie $\mu$ oznacza funkcję Möbiusa.