Funkcja wektorowa – funkcja o wartościach wektorowych , tj. o przeciwdziedzinie będącej przestrzenią liniową [1]
Przykładami funkcji wektorowych są funkcje opisujące:
krzywe parametryczne
t
{\displaystyle t}
n
{\displaystyle n}
R
n
{\displaystyle R^{n}}
powierzchnie parametryczne
t
{\displaystyle t}
elipsoida itp.), 3 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni
R
4
{\displaystyle R^{4}}
n
{\displaystyle n}
R
n
+
1
{\displaystyle R^{n+1}}
W kinematyce : ciału poruszającemu się w przestrzeni można przypisać funkcje wektorowe, zależne od czasu:
wektor położenia w przestrzeni,
wektor prędkości,
wektor przyspieszenia,
wektor momentu pędu
itp. Funkcje wektorowe jednej zmiennej
edytuj
Funkcje wektorowe o 2 współrzędnych
edytuj
Niech
t
∈
R
.
{\displaystyle t\in R.}
Funkcja
r
:
R
→
R
2
{\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{2}}
r
(
t
)
=
x
(
t
)
i
^
+
y
(
t
)
j
^
,
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,}
gdzie:
x
(
t
)
,
y
(
t
)
{\displaystyle x(t),y(t)}
skalarne , zależne od jednej zmiennej
t
,
{\displaystyle t,}
i
^
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,}
j
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }
wersory układu współrzędnych w
R
2
,
{\displaystyle R^{2},}
jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
R
2
.
{\displaystyle R^{2}.}
Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej
r
(
t
)
=
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t)]}
lub w postaci kolumny
r
(
t
)
=
[
x
(
t
)
y
(
t
)
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{bmatrix}}.}
Równanie parametryczne okręgu ma postać:
r
(
t
)
=
x
(
t
)
i
^
+
y
(
t
)
j
^
,
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,}
gdzie:
x
(
t
)
=
r
⋅
cos
(
t
)
,
{\displaystyle x(t)=r\cdot \cos(t),}
y
(
t
)
=
r
⋅
sin
(
t
)
,
{\displaystyle y(t)=r\cdot \sin(t),}
t
∈
⟨
0
,
2
π
)
.
{\displaystyle t\in \langle 0,2\pi ).}
Funkcje wektorowe o 3 współrzędnych
edytuj
Funkcja
r
:
R
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{3}}
r
(
t
)
=
x
(
t
)
i
^
+
y
(
t
)
j
^
+
z
(
t
)
k
^
,
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} ,}
gdzie:
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
{\displaystyle x(t),y(t),z(t)}
skalarne zmiennej
t
,
{\displaystyle t,}
i
^
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,}
j
^
,
{\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ,}
k
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }
wersory układu współrzędnych w
R
3
,
{\displaystyle R^{3},}
jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
R
3
.
{\displaystyle R^{3}.}
Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej
r
(
t
)
=
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]}
lub w postaci kolumny
r
(
t
)
=
[
x
(
t
)
y
(
t
)
z
(
t
)
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\\{z(t)}\end{bmatrix}}.}
Uogólnienie funkcji wektorowych
edytuj
Ogólnie funkcję wektorową wielu zmiennych
r
(
x
)
=
[
f
n
(
x
n
)
]
{\displaystyle \mathbf {r} (x)=[f_{n}(x_{n})]}
n
∈
N
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
r
(
x
)
=
[
f
1
(
x
1
)
f
2
(
x
2
)
f
3
(
x
3
)
.
.
.
f
n
(
x
n
)
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} (x)={\begin{bmatrix}{f_{1}(x_{1})}\\{f_{2}(x_{2})}\\{f_{3}(x_{3})}\\{...}\\{f_{n}(x_{n})}\end{bmatrix}}.}
Pierwszą Pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych jest macierz Jacobiego .
Bibliografia
edytuj
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5876d35cc61998675de7e5e4c9559bc7b8a174)
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8de704d6985df0a9f54aa66dabeed8cb22cbe6)
![{\displaystyle \mathbf {r} (x)=[f_{n}(x_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dd2e6b8792e14f9e7f3284052a0aff1a529b7d)
