Funkcja wypłat

Funkcja wypłat – pojęcie z zakresu teorii gier stosowane do opisu m.in. gier o postaci normalnej. Dla danych strategii czystych określa jaką wypłatę przyniesie ich zastosowanie.

Definicja

Niech $\langle N,A,(u_{i})_{i\in N}\rangle$ będzie grą.

Funkcją wypłat nazywamy funkcję $u\colon A\to \mathbb {R} ^{N}$ która danemu profilowi strategii czystych przyporządkowuje pewną N-tkę liczb rzeczywistych, gdzie kolejne współrzędne są wypłatami kolejnych graczy. Równoważnie: $u(a)=(u_{1}(a),\dots ,u_{N}(a)),a\in A.$

Macierz wypłat

Macierz wypłat to wygodny sposób zapisu wypłat stosowany w grach o postaci normalnej.

Definicja

Macierz wypłat to szczególny przypadek funkcji wypłat. Stosuje się go zwykle dla gier o liczbie graczy nie większej niż 3 (ze względu na komplikację przy większej ilości graczy). Poniżej podano wyraz ogólny macierzy dla gry dwuosobowej, przy danej funkcji wypłat. Jest to para uporządkowana w której pierwsza (odpowiednio: druga) współrzędna oznacza wypłatę gracza pierwszego (drugiego).

$a_{ij}=(u_{1}(1_{i},1_{j}),u_{2}(1_{i},1_{j})),$ gdzie $u_{i}$ wartość funkcji wypłat, a $1_{i}$ i-tą strategię czystą.

Oznaczmy tę macierz przez $W,$ a przez $W^{k}$ oznaczmy macierz o następujących wyrazach: $w_{i,j}^{k}=u_{k}(1_{i},1_{j})$ gdzie k = 1,2. Zatem $W^{k}$ oznacza macierz wypłat gracza k-tego.