Granice dolna i górna

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg $(x_{n})$ zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej ciągu $(x_{n})$ oznaczonych linią czarną kropkowaną.

Każdy ciąg ma granice dolną i górną. Jeżeli dany ciąg ma granicę, to granice dolna oraz górna są równe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one równe, to posiada także granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej (na podstawie twierdzenia o trzech ciągach).

Definicja

Granica dolna i granica górna ciągu $(a_{n})$ definiowane są odpowiednio wzorami

$\liminf _{n\to \infty }~{a_{n}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\lim _{n\to \infty }~\left(\inf _{k\geqslant n}~a_{k}\right)=\sup _{n\geqslant 0}~\inf _{k\geqslant n}~a_{k},$

$\limsup _{n\to \infty }~{a_{n}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\lim _{n\to \infty }~\left(\sup _{k\geqslant n}~a_{k}\right)=\inf _{n\geqslant 0}~\sup _{k\geqslant n}~a_{k}.$

W pierwszej definicji druga z równości wynika z faktu, że ciąg $\{\inf _{k\geqslant n}~a_{k}\}_{n=1}^{\infty }$ jest niemalejący, więc jego granicą jest jego supremum. Analogicznie, druga z równości w drugiej definicji wynika z faktu, że ciąg $\{\sup _{k\geqslant n}~a_{k}\}_{n=1}^{\infty }$ jest nierosnący, więc jego granicą jest jego infimum.

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń $\lim$ oraz $\inf ,$ czy $\sup ,$ co widać w powyższych napisach, gdzie $n\to \infty$ rozpościera się równo pod całym napisem $\liminf$ lub $\limsup ,$ a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli ${\underline {\lim }}$ na oznaczenie granicy dolnej oraz ${\overline {\lim }}$ na oznaczenie granicy górnej.

Przykłady

Najprostszym przykładem jest

$\limsup _{n\to \infty }\pm n=\liminf _{n\to \infty }\pm n=\pm \infty .$

Istnieją ciągi, których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

$\limsup _{n\to \infty }(-1)^{n}(1-{\tfrac {1}{n}})=1,$

ale

$\liminf _{n\to \infty }(-1)^{n}(1-{\tfrac {1}{n}})=-1.$

Podobnie

$\limsup _{n\to \infty }~\sin {\tfrac {\pi n}{100}}=1,$

ale

$\liminf _{n\to \infty }~\sin {\tfrac {\pi n}{100}}=-1.$

Własności

Dla dowolnych ciągów $(a_{n}),(b_{n})$ prawdziwe są następujące nierówności:

${\begin{aligned}&\limsup _{n\to \infty }~a_{n}+\limsup _{n\to \infty }~b_{n}\\\geqslant &\limsup _{n\to \infty }~(a_{n}+b_{n})\\\geqslant &\limsup _{n\to \infty }~a_{n}+\liminf _{n\to \infty }~b_{n}\\\geqslant &\liminf _{n\to \infty }~(a_{n}+b_{n})\\\geqslant &\liminf _{n\to \infty }~a_{n}+\liminf _{n\to \infty }~b_{n}.\end{aligned}}$

Zobacz też

• granica Banacha
• granica ciągu
• granica funkcji

Bibliografia

• Liliana Janicka: Wstęp do analizy matematycznej. Wrocław: Oficyna Wydawnicza „GiS”, 2004, s. 74–77. ISBN 83-89020-36-X.