Grupa rozwiązalna

Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: $x^{5}-x-1.$

Definicja

Grupa $G$ jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

$\{1\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq \dots \subseteq H_{k-1}\subseteq H_{k}=G,$

takich, że dla każdego $1\leqslant i\leqslant k$ są spełnione warunki:

• $H_{i-1}$ jest podgrupą normalną $H_{i}$
• grupa ilorazowa $H_{i}/H_{i-1}$ jest abelowa.

Warunki równoważne

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa $G$ jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy $G^{(n)}=\{1\}$ dla pewnej liczby $n,$

gdzie $G^{(n)}$ oznacza $n$-tą pochodną grupy $G.$ Najmniejszą taką liczbę $n$ nazywa się stopniem rozwiązalności grupy $G.$

Jeżeli grupa $G$ jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy $G$ są grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

Własności

• Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
• Jeśli $H\vartriangleleft G$ i grupa $G$ jest rozwiązalna, to iloraz $G/H$ również jest grupą rozwiązalną.
• Jeżeli $H\vartriangleleft G$ oraz grupy $H$ i $G/H$ są rozwiązalne, to $G$ również jest grupą rozwiązalną.
• Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
• Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Przykłady

• Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
• Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
• p-grupy są rozwiązalne.
• Grupa permutacji S_n jest rozwiązalna dla $n=1,2,3,4$ i nie jest rozwiązalna dla $n>4.$
• Grupa alternująca $A_{4}$ jest nieabelową grupą rozwiązalną. $\{\operatorname {id} \}\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4},$ gdzie $V_{4}$ oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz $V_{4}\simeq V_{4}/\{\operatorname {id} \},$ ponadto $A_{4}/V_{4}\simeq \mathbb {Z} _{3},$ skąd $A_{4}$ jest rozwiązalna.
• Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca $A_{5}.$
• Każda nieabelowa grupa prosta $G$ nie jest rozwiązalna, ponieważ $G/\{1\}\simeq G,$ a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

Twierdzenia

Twierdzenie Feita-Thompsona

Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.

Twierdzenie Burnside’a

Każda grupa rzędu $p^{a}q^{b}$ jest rozwiązalna, gdzie $p,q$ są liczbami pierwszymi, a $a,b$ – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Solvable group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].