Homomorfizm ciał – przekształcenie jednego ciała w drugie, które zachowuje strukturę.

Definicja formalna edytuj

Niech   oraz   będą dowolnymi ciałami.

Homomorfizmem ciał   i   nazywamy dowolne odwzorowanie   takie, że

  •   – zachowane jest działanie addytywne,
  •   – zachowane jest działanie multiplikatywne.

Własności edytuj

NIech   jest homomorfizmem między ciałami R i S. Wtedy:

  •   – element neutralny dodawania w   jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w  
  •   – element neutralny mnożenia   jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w  
  •   – element przeciwny jest odwzorowywany w element przeciwny, co wynika z rozumowania:  
  •   – element odwrotny jest odwzorowywany w element odwrotny.

Obraz edytuj

Obrazem homomorfizmu   nazywamy zbiór

 

czyli zbiór takich elementów   które są wartościami odwzorowania   na co najmniej jednym elemencie zbioru  

Obrazem homomorfizmu   jest podciało ciała S.

Monomorfizm edytuj

Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest różnowartościowy (jest iniekcją).

Epimorfizm edytuj

Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu „na” (będący suriekcją).

Homomorfizm   jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy  

Izomorfizm edytuj

Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm   nazywamy izomorfizmem ciał wtedy i tylko wtedy, gdy   jest wzajemnie jednoznaczny (jest bijekcją), czyli jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Wtedy:   istnieje (ponieważ   jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że ciała   i  izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm   (równoważnie: izomorfizm  ) i oznaczamy   W dowolnym zbiorze ciał relacja izomorficzności   jest relacją równoważności.

Zobacz też edytuj

Bibliografia edytuj