Ideał (teoria pierścieni)

Ideał – podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i, szczególnie, przez Emmy Noether.

Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.

Definicja formalna

W dalszej części artykułu nie zakłada się przemienności pierścieni ani istnienia jedynki.

Ideałem pierścienia $R$ nazywa się każdy podzbiór $I$ pierścienia $R$ o tej własności, że:

1. $I$ jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia,
2. jeśli $\gamma \in R$ oraz $\alpha \in I,$ to $\gamma \alpha \in I,$
3. jeśli $\gamma \in R$ oraz $\alpha \in I,$ to $\alpha \gamma \in I.$

W przypadku, gdy $R$ jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.

Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek:

1′. $I$ jest niepusty oraz $\alpha -\beta \in I$ dla wszelkich $\alpha ,\beta \in I.$

Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że $I$ jest podprzestrzenią liniową algebry $R.$ Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.

Ideały jednostronne

Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu $R{:}$

• podzbiór $L$ pierścienia $R$ jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2.
• podzbiór $P$ pierścienia $R$ jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 3.

W przypadku, gdy $R$ jest nieprzemienny, dla odróżnienia, ideał (zbiór spełniający warunki 1., 2. i 3.) nazywa się ideałem dwustronnym albo ideałem obustronnym.

Generowanie ideałów

Niech $A$ będzie podzbiorem pierścienia $R.$ Część wspólna dowolnej rodziny dwu-/lewo-/prawostronnych ideałów w $R$ jest nadal ideałem o danej własności. Obserwacja ta pozwala na definicję ideału dwu-/lewo-/prawostronnego generowanego przez zbiór $A$ ($A$ nazywany jest wówczas zbiorem generatorów). I tak, symbolami $RAR,$ $RA,$ $AR$ oznacza się część wspólną rodziny wszystkich ideałów, odpowiednio, dwu-/lewo-/prawostronnych zawierających zbiór $A$ (w każdym przypadku rodzina ideałów zawierających $A$ jest niepusta, gdyż należy do niej ideał $I=R;$ rozważanie części wspólnej ma zatem sens).

Jeśli pierścień $R$ ma jedynkę, to wyżej zdefiniowane ideały generowane przez zbiór $A$ można opisać jawnie:

$RAR=\{l_{1}a_{1}p_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}p_{n}\colon \;\;l_{i},p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},$

$RA=\{l_{1}a_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}\colon \;\;l_{i}\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},$

$AR=\{a_{1}p_{1}+\ldots +a_{n}p_{n}\colon \;\;p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \}.$

W przypadku, gdy pierścień jest przemienny, powyższe trzy zbiory są identyczne (postać drugiego i trzeciego jest oczywiści prostsza od pierwszego).

Jeśli w pierścieniu $R$ brak jedynki, to sumy w poszczególnych definicjach zbiorów należy zastąpić odpowiednio następującymi sumami

$\sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}p_{i}+l_{i}^{'}a_{i}+a_{i}p_{i}^{'}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(a_{i}p_{i}+k_{i}\cdot a_{i})$

gdzie $l_{i},l_{i}^{'}p_{i},p_{i}^{'}\in R,a_{i}\in A,k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .$

Ideały generowane przez zbiór skończony nazywa się ideałami skończenie generowanymi. Ideały generowane przez zbiór jednoelementowy („generowane przez jeden element”) nazywane są ideałami głównymi.

Typy ideałów

Z definicji natychmiast wynika, że sam pierścień $R$ jest ideałem (dwu-/lewo-/prawostronnym). Ideały pierścienia $R,$ które są różne od $R$ nazywane są ideałami właściwymi. W przypadku pierścieni z jedynką, ideał $I$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jedynki pierścienia.

Ideały maksymalne

Ideał (dwu-/lewo-/prawostronny) $I$ nazywany jest ideałem maksymalnym, gdy nie istnieje ideał właściwy, w którym jest on zawarty w sposób właściwy. Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc aksjomatu wyboru), można udowodnić następujące twierdzenie:

• Twierdzenie Krulla: Każdy ideał (dwu-/lewo/-prawostronny) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Ponadto,

• Ideał $I$ (dwustronny) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ jest pierścieniem z dzieleniem (bądź ciałem, gdy $R$ jest przemienny).

Ideały pierwsze

Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym. Ideał $I$ pierścienia $R$ nazywa się ideałem pierwszym, gdy spełnia on następujący warunek:

jeżeli $\alpha \cdot \beta \in I,$ to $\alpha \in I$ lub $\beta \in I.$

Często używa się również w definicji warunku równoważnego:

jeżeli $\alpha \cdot \beta \in I$ oraz $\alpha$ nie należy do $I,$ to $\beta \in I.$

Każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Ponadto, ideał $I$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie ma nietrywialnych dzielników zera (tj. $R/I$ jest dziedziną całkowitości).

Ideały pierwsze w teorii pierścieni pełnią rolę liczb pierwszych w teorii liczb.

Pierścień w którym każdy ideał jest ideałem pierwszym nazywany jest pierścieniem ideałów pierwszych.

Przykłady

• W dowolnym pierścieniu zbiór $\{0\}$ jest ideałem, zwanym trywialnym.
• Zbiór wszystkich elementów pierścienia $R$ jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
• W pierścieniu $\mathbb {Z}$ liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 9. Ogólniej, każdy ideał pierścienia $\mathbb {Z}$ jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną $k.$ Zatem $\mathbb {Z}$ jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia $\mathbb {Z}$ jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
• Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
• Jeśli $f\colon R\to S$ jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro $\ker f$ jest ideałem w pierścieniu $R.$
• Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia $R$ tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy $R$ zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.

• Grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych ciała liczb hiperrzeczywistych.

Operacje na ideałach

Suma algebraiczna ideałów $I$ i $J$ pierścienia $R,$ czyli zbiór

$I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$

jest również ideałem w pierścieniu $R.$

Zbiór wszystkich iloczynów elementów dwóch ideałów $I$ i $J$ nie musi być ideałem. Dlatego przez $IJ$ rozumie się ideał generowany przez te iloczyny. Zatem:

$IJ=\{r_{1}a_{1}b_{1}+\ldots +r_{n}a_{n}b_{n}:r_{i}\in R,a_{i}\in I,b_{i}\in J,1\leqslant i\leqslant n,n\in \mathbb {N} \}.$

Część wspólna ideałów $I\cap J$ również jest ideałem, podczas gdy teoriomnogościowa suma ideałów $I\cup J$ nie musi być ideałem, ale zawsze jest podzbiorem ideału $IJ.$

Część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał $I$ w pierścieniu $R$ nazywana jest radykałem ideału $I$ w pierścieniu $R.$

Własności operacji na ideałach

• Wszystkie trzy powyższe operacje są łączne i przemienne.
• Iloczyn ideałów jest rozdzielny względem dodawania.
• Część wspólna ideałów jest modularna względem dodawania: jeśli $I\supseteq K,$ to $I\cap (J+K)=(I\cap J)+K.$
• $(I+J)(I\cap J)\subseteq IJ$
• Ideały $I,J$ nazywamy ideałami względnie pierwszymi, jeśli $I+J=(1).$ Na podstawie poprzedniego przykładu oznacza to, że $I\cap J\subseteq IJ,$ a ponieważ $IJ\subseteq I\cap J,$ więc dla ideałów względnie pierwszych zachodzi równość $IJ=I\cap J.$
• Przeciwobraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem. Jeżeli $\phi \colon R\to P$ jest homomorfizmem i I jest ideałem P to $\phi ^{-1}(I)$ jest ideałem R. (przeciwobraz podgrupy jest podgrupą, iloczyn elementu $\phi ^{-1}(I)$ i elementu z jądra przechodzi na 0, więc jest w przeciwobrazie I, iloczyn z elementem spoza jądra przechodzi na element z I z definicji ideału i homomorfizmu).
• Obraz ideału przy epimorfizmie jest ideałem. Ogólniej obraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem obrazu pierścienia przy homomorfizmie (niekoniecznie ideałem pierścienia, w który prowadzi homomorfizm).