Iloczyn Blaschkego

Iloczyn Blaschkego – funkcja analityczna ograniczona na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych $a_{0},\;a_{1},\dots$ wewnątrz koła jednostkowego.

Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy’ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma Blaschkego.

Definicja formalna

Ciąg punktów $(a_{n})$ wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli

$\sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .$

Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

$B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z),$

gdzie współczynniki

$B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}},$

o ile $a\neq 0,$ gdzie ${\overline {a}}$ jest sprzężeniem zespolonym $a.$ Gdy $a=0,$ wtedy $B(0,z)=z.$

Iloczyn Blaschkego $B(z)$ definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) $a_{n}.$ Również należy do przestrzeni Hardy’ego $H^{\infty }$.

Ciąg $a_{n}$ spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.

Twierdzenie Szegő

Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli $f$ należy do $H^{1}$ (przestrzeń Hardy’ego z całkowalną normą), oraz jeżeli $f$ jest niezerowa, wtedy zera $f$ spełniają warunki Blaschkego.

Skończony iloczyn Blaschkego

Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech $f$ będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że $f$ może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku

${\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \,|\,|z|\leq 1\},$

który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy $f$ jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego

$B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({\frac {z-a_{i}}{1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}},$

gdzie $\zeta$ leży na jednostkowym okręgu oraz $m_{i}$ jest wielokrotnością zera $a_{i},|a_{i}|<1.$ W szczególności, jeżeli $f$ spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu, wtedy $f$ jest stałą.

Bibliografia

• W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen, Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915), s. 194–200.
• PeterP. Colwell PeterP., Blaschke Products – Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, 1985, ISBN 0-472-10065-3, OCLC 11622575 .brak strony (książka)
• John B. Conway: Functions of a Complex Variable II. Wyd. Graduate Texts in Mathematics. T. 159. Springer-Verlag, s. 273–274. ISBN 0-387-94460-5.
• P.M. Tamrazov: Iloczyn Blaschkego. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Blaschke Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).