Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego)
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
T
{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}}
tensor 2-go rzędu, np.
u
⊗
v
T
=
[
u
1
u
2
u
3
]
⋅
[
v
1
v
2
v
3
]
=
[
u
1
v
1
u
1
v
2
u
1
v
3
u
2
v
1
u
2
v
2
u
2
v
3
u
3
v
1
u
3
v
2
u
3
v
3
]
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}}
Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (iloczynu tensorowego macierzy.
Definicja ogólna
edytuj
Jeżeli dane są:
(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej
{
e
i
,
i
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{i},i=1,\dots ,n\}}
(2) odpowiadająca jej baza
{
e
i
T
,
i
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}^{T},i=1,\dots ,n\}}
(3) wektory
u
,
v
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }
u
=
∑
i
n
u
i
e
i
,
{\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i},\quad {}}
v
T
=
∑
j
n
v
j
e
i
T
,
{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=\sum _{j}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{i}^{T},}
to iloczyn diadyczny
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
u
⊗
v
T
=
∑
i
,
j
=
1
n
u
i
v
j
e
i
⊗
e
j
T
,
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}=\sum _{i,j=1}^{n}u_{i}v_{j}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T},}
gdzie
E
i
j
=
e
i
⊗
e
j
T
{\displaystyle \mathbf {E_{ij}} =\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T}}
macierz wymiaru
n
×
n
,
{\displaystyle n\times n,}
E
i
j
=
1
,
{\displaystyle E_{ij}=1,}
bazę tensora , tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.
Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy
E
i
j
,
i
,
j
=
1
,
2
,
3
,
{\displaystyle \mathbf {E_{ij}} ,i,j=1,2,3,}
E
12
=
[
0
1
0
0
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle \mathbf {E_{12}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}
Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego
edytuj
Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie
Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu
tr
(
u
⊗
v
T
)
=
v
T
⋅
u
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=\mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} .}
Przykład: Niech będą dane wektory
u
T
=
[
1
,
2
,
3
]
,
{\displaystyle \mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],}
v
T
=
[
0
,
3
,
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}
Ich iloczyn diadyczny wynosi
u
⊗
v
T
=
[
1
2
3
]
⊗
[
0
3
1
]
=
[
0
3
1
0
6
2
0
9
3
]
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&6&2\\0&9&3\end{bmatrix}}}
oraz ślad macierzy wynosi
tr
(
u
⊗
v
T
)
=
9
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=9}
– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów
u
,
v
,
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,}
v
T
⋅
u
=
[
0
3
1
]
⋅
[
1
2
3
]
=
9
{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}=9}
Nieprzemienność iloczynu diadycznego
edytuj
Przykład: Niech będą dane wektory
u
T
=
[
1
,
2
,
3
]
,
{\displaystyle \mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],}
v
T
=
[
0
,
3
,
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}
Ich iloczyn diadyczny
v
⊗
u
T
{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}}
v
⊗
u
T
=
[
0
3
1
]
⊗
[
1
2
3
]
=
[
0
0
0
3
6
9
1
2
3
]
{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}={\begin{bmatrix}0\\3\\1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\3&6&9\\1&2&3\end{bmatrix}}}
Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny
v
⊗
u
T
≠
u
⊗
v
T
.
{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}\neq \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}.}
Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.
Bibliografia
edytuj
![{\displaystyle \mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff14dea02925d2ac698edd55b676675559fb118)
![{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652915abf240273b50fb8aae50eabf83a3b2c4de)
