Interpolacja Hermite’a

Interpolacja Hermite’a – interpolacja umożliwiająca znalezienie wielomianu przybliżającego według wartości

y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2}),\dots ,y_{n}=f(x_{n})

na $n$ danych węzłach $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},$ oraz na wartościach pochodnych na wybranych węzłach

f'(x_{1}),f''(x_{1}),\dots ,f^{(k_{1})}(x_{1}),\dots ,f'(x_{n}),\dots ,f^{(k_{n})}(x_{n}).

Węzeł zadany bez pochodnej jest węzłem pojedynczym, a węzeł z danymi pochodnymi $1,2,\dots ,k$ jest węzłem $k+1$ -krotnym.

Algorytm

Algorytm jest podobny jak przy interpolacji Newtona. Kolumnę wypełnia się wszystkimi wartościami węzłów (jeżeli węzeł jest $k$ -krotny, to umieszczamy go w tabeli $k$ razy).

$x_{i}$	$f(x_{i})$
$x_{0}$	$f(x_{0})$
$x_{1}$	$f(x_{1})$
$x_{2}$	$f(x_{2})$
$\vdots$	$\vdots$
$x_{n}$	$f(x_{n})$

Następnie dopisuje się do każdej kolumny kolejne różnice dzielone, z tym wyjątkiem, że przy węzłach $k$ -krotnych, $k>1,$ gdzie, de facto, nie można obliczyć różnicy dzielonej, podstawia się wartości kolejnych pochodnych na węzłach podzielone przez silnię ze stopnia pochodnej. (W tabeli przedstawiony jest $3$ -krotny węzeł $x_{1}$ ).

$x_{i}$	$f(x_{i})$	$f[x_{i-1},x_{i}]$	$f[x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]$
$x_{0}$	$f(x_{0})$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f[x_{0},x_{1}]$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f'(x_{1})$	$f[x_{0},x_{1},x_{1}]$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f'(x_{1})$	${\frac {f''(x_{1})}{2!}}$
$x_{2}$	$f(x_{2})$	$f[x_{1},x_{2}]$	$f[x_{1},x_{1},x_{2}]$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{n}$	$f(x_{n})$	$f[x_{n-1},x_{n}]$	$f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]$

Tabelę uzupełnia się do końca jak przy interpolacji Newtona, uznając ciągłe pochodne na węzłach wielokrotnych jako różnice dzielone rzędu drugiego.

$x_{i}$	$f(x_{i})$	$f[x_{i-1},x_{i}]$	$f[x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]$	$f[x_{i-3},x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]$	$\cdots$	$f[x_{i-n},\dots ,x_{i}]$
$x_{0}$	$f(x_{0})$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f[x_{0},x_{1}]$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f'(x_{1})$	$f[x_{0},x_{1},x_{1}]$
$x_{1}$	$f(x_{1})$	$f'(x_{1})$	${\frac {f''(x_{1})}{2!}}$	$f[x_{0},x_{1},x_{1},x_{1}]$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$
$x_{n}$	$f(x_{n})$	$f[x_{n-1},x_{n}]$	$f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]$	$f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]$	$\cdots$	$f[x_{0},\dots ,x_{n}]$

Definiując $a_{i}$ jako wartości na przekątnej, $i=1,2,3,\dots ,m,$ gdzie $m$ to suma krotności węzłów, otrzymuje się wielomian:

w(x)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}\prod _{j=0}^{i-1}(x-{\bar {x}}_{j}),

gdzie ${\bar {x}}_{i}={x_{1},x_{1},\dots ,x_{1},x_{2},x_{2},\dots ,x_{2},\dots ,x_{n}},$ przy czym każdy $k$ -krotny węzeł występuje $k$ razy.

Przykład

Należy znaleźć wielomian interpolacyjny, przybliżający funkcję o zadanych węzłach dwukrotnych:

{\begin{array}{lcl}x_{1}=1&,&x_{2}=3\\f(x_{1})=3&,&f(x_{2})=5\\f'(x_{1})=2&,&f'(x_{2})=6\end{array}}

Zapisuje się wartości w tabeli:

$x_{i}$	$f(x_{i})$
$1$	$3$
$1$	$3$
$3$	$5$
$3$	$5$

Następnie w miejsce powtarzającego się węzła wstawia się wartości pochodnej, a w pozostałe miejsca (w tym przypadku jedno) wstawia się odpowiednią różnicę dzieloną:

$x_{i}$	$f(x_{i})$	$R_{2}(x_{i})$
$1$	$3$	–
$1$	$3$	$2$
$3$	$5$	$1$
$3$	$5$	$6$

Następnie uzupełnia się do końca tabelę:

$x_{i}$	$f(x_{i})$	$R_{2}(x_{i})$	$R_{3}(x_{i})$	$R_{4}(x_{i})$
$1$	$3$	–	–	–
$1$	$3$	$2$	–	–
$3$	$5$	$1$	$-{\frac {1}{2}}$	–
$3$	$5$	$6$	${\frac {5}{2}}$	${\frac {3}{2}}$