Jądro (algebra)

Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu $f$ jego jądro oznacza się zwykle $\ker f$ (od ang. kernel).

Homomorfizm grupowy

Niech $f\colon G\to H$ będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu $f$ nazywamy podgrupę $f^{-1}(e),$ gdzie $e$ jest elementem neutralnym działania w grupie $H.$

Homomorfizm $f\colon G\to H$ jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker f=\{e\}.$

Homomorfizm pierścieni

Niech $f\colon R\to S$ będzie homomorfizmem pierścieni. W teorii pierścieni jądrem homomorfizmu $f$ nazywa się podzbiór $f^{-1}(0),$ gdzie $0$ oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia $R.$

Przekształcenie liniowe

Niech $f\colon U\to V$ będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K.$ W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego $f$ nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

$\left\{x\in U\colon f(x)=0\right\}.$

Własności

• $\ker f$ jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia $f,$
• $\dim f=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f,$ gdzie ${\mbox{im }}f$ oznacza obraz przekształcenia $f,$
• przekształcenie $f$ jest różnowartościowe $\iff \ker f=\{0\}.$