Kategoria przecinkowa

Kategoria przecinkowa – pojęcie używane w matematyce, w teorii kategorii.

Konstrukcja

Niech ${\mathcal {A}},$ ${\mathcal {B}}$ oraz ${\mathcal {C}}$ będą kategoriami, a $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}},$ $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ funktorami, tj.

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;F\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;G\;\;} {\mathcal {B}}.$

Wówczas kategorią przecinkową nazywamy kategorię $(F\downarrow G),$ w której:

• obiektami są trójki uporządkowane $(A,f,B),$ gdzie $A\in Ob({\mathcal {A}}),$ $B\in Ob({\mathcal {B}})$ oraz $Mor({\mathcal {C}})\ni f:F(A)\to G(B);$
• morfizmami $(A,f,B)\to (A^{'},f^{'},B^{'})$ są takie pary $(a,b),$ gdzie $a:A\to A^{'}\in Mor({\mathcal {A}}),$ $b:B\to B^{'}\in Mor({\mathcal {B}}),$ że poniższy diagram

jest przemienny. Przy czym morfizmami tożsamościowymi są ${\textrm {id}}_{(A,f,B)}=({\textrm {id}}_{A},{\textrm {id}}_{B}),$ a złożeniem morfizmów $(a^{'},b^{'})\circ (a,b)$ jest $(a^{'}\circ a,b^{'}\circ b)$ (o ile złożenia $a^{'}\circ a,b^{'}\circ b$ mają sens).

Szczególne przypadki

Płat kategorii

Jeżeli ${\mathcal {C}}={\mathcal {A}}$ oraz ${\mathcal {B}}=*,$ tj. kategoria ${\mathcal {B}}$ ma tylko jeden obiekt (oznaczany również $*$) oraz jeden morfizm (tj. morfizm tożsamościowy), to $G(*)=C$ dla pewnego $C\in Ob({\mathcal {C}}).$ W takim przypadku kategorię przecinkową nazywamy płatem kategorii ${\mathcal {C}}$ nad obiektem $C$ i oznaczamy ${\mathcal {C}}/C.$

Kopłat kategorii

Jeżeli zaś ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$ oraz ${\mathcal {A}}=*,$ to otrzymujemy kategorię nazywaną kopłatem kategorii ${\mathcal {C}}$ pod obiektem $C$ oznaczaną $C/{\mathcal {C}}.$

Kategoria strzałkowa

Gdy ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ oraz $F=G={\textrm {id}}_{\mathcal {C}},$ to taką kategorię przecinkową nazywamy kategorią strzałkową i oznaczamy ${\mathcal {C}}^{\to }$.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii. Skrypt dla studentów Wydziału MIM UW.