Kiełek funkcji gładkiej

Kiełek funkcji gładkiej w punkcie – klasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie tożsamościowo równe w pewnym otoczeniu tego punktu funkcje.

Definicja

Niech ${\mathcal {M}}$ będzie parazwartą rozmaitością klasy ${\mathcal {C}}^{\infty }.$

Dla punktu $m\in {\mathcal {M}}$ niech ${\mathcal {C}}^{\infty }(m)$ oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu $m$ (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).

Niech $\sim _{m}$ będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla funkcji gładkich $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(m)$ zachodzi relacja $f\sim _{m}g$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie ${\mathcal {U}}$ punktu $m$, że dla każdego punktu $x\in {\mathcal {U}}$ funkcje są tożsamościowo równe, to znaczy $f(x)-g(x)=0$.

Zbiór funkcji gładkich $g$ tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej $f$ w punkcie $m$.

$[f]_{m}=\{g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(m):g\sim _{m}f\}.$

Znaczenie

Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.

Uwagi

• Jeśli $f(x)\neq g(x),$ to $[f]_{x}\neq [g]_{x},$ bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego $U\ni x,$ że dla każdego $y\in U$ zachodzi nierówność $f(x)\neq g(x).$
• W zbiorze ${\mathcal {F}}=\bigcup _{m\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {C}}_{m}^{\infty }$ można określić topologię. Jej bazą są zbiory $U_{f}=\{[f]_{x}:x\in U\},$ gdzie $f$ jest reprezentantem elementu $F\in {\mathcal {F}},$ a zbiór $U$ jest podzbiorem otwartym rozmaitości ${\mathcal {M}}$.
• Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli $[f]_{x}\neq [g]_{x}$ i jednocześnie $f(x)=g(x),$ to $x\in {\overline {\{y:f(y)\neq g(y)\}}}.$ Wtedy $U_{f}\cap V_{g}\neq \varnothing$ dla każdych dwóch zbiorów otwartych $U\ni x,V\ni x,$ bowiem istnieje taki punkt $x_{0}\in U\cap V,$ że $f(x_{0})\neq g(x_{0}),$ czyli $[f]_{x_{0}}\neq [g]_{x_{0}}.$
• W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy ${\mathcal {C}}^{k}$ (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych.
• Przestrzeń toologiczna ${\mathcal {F}}$ wraz z rozmaitością ${\mathcal {M}}$ rzutowaniem $\pi \colon [f]_{x}\to x$ tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości ${\mathcal {M}},$ co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
• Można je składać i różniczkować.
• W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}$ lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni $\mathbb {C}$ lub $\mathbb {C} ^{n}$, gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.
• W zbiorze kiełków funkcji gładkich ${\mathcal {C}}_{m}^{\infty }={\mathcal {C}}^{\infty }(m)/\sim$ można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie $m$ klasy ${\mathcal {C}}^{\infty }$.