Klasyczny oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym

$U={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}\cdot x^{2},$

bądź równoważnie jako układ, w którym działa siła ${\vec {F}}$ przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia

${\vec {F}}=-k{\vec {x}},$

gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

Definicja oscylatora harmonicznego

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego

$a(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0,$

gdzie:

$a(t)$ – przyspieszenie zależne od czasu,

$x(t)$ – położenie zależne od czasu,

$\omega _{0}$ – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x(t)=0$

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.$

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

1. $x(t)=A\sin(\omega _{0}t)+B\cos(\omega _{0}t)$
2. $x(t)=C\sin(\omega _{0}t+\varphi )$
3. $x(t)=D\cos(\omega _{0}t+\varphi ')$
4. $x(t)=Fe^{i\omega _{0}t}+Ge^{-i\omega _{0}t},$

gdzie $A,B,C,\varphi ,D,\varphi ',F,G$ to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

$\omega _{0}$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań $T$ wynosi

$T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}},$

natomiast częstotliwość drgań $\nu$ wynosi

$\nu ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}.$

Lagranżjan oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

${\mathcal {L}}={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},$

gdzie:

${\dot {q}}$ – prędkość uogólniona,

$q$ – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},$

gdzie:

$p$ – pęd uogólniony,

$q$ – położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci

$ml\epsilon =-mg\sin \alpha .$

Dla małych kątów $\alpha ,\;\sin \alpha \approx \alpha ,$ a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego

${\ddot {\alpha }}+{\frac {g}{l}}\alpha =0$

$\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}},$

gdzie:

$\epsilon$ – przyspieszenie kątowe,

$\alpha$ – kąt odchylenia z położenia równowagi,

$l$ – długość wahadła,

$g$ – przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynie

Ciężarek o masie m na sprężynie

Ciało o masie $m,$ przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia $x$

${\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}.$

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie ${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.$ Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi $x,$ otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego

$a(t)+{\frac {k}{m}}x(t)=0,$

gdzie:

$x$ – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,

$a$ – przyspieszenie ciężarka,

$m$ – masa ciężarka,

$k$ – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie $m$ wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym $g$ i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumiony

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0.$

Oscylator harmoniczny wymuszony

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),$

gdzie:

$\omega _{0}$ – częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych $\cos(\omega t).$

Dlatego analizę równania można ograniczyć do

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=A\cos(\omega t),$

gdzie:

$\omega$ – częstość siły wymuszającej,

$A$ – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,

$\beta$ – współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy $A=0,$ uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że $\beta =0,$ równanie oscylatora prostego.

Zobacz też

• kwantowy oscylator harmoniczny
• wahadło