Koło Mohra

Koło Mohra (koło naprężeń) – graficzna reprezentacja (rys. 1) stanu naprężenia, opracowana przez niemieckiego inżyniera Christiana Mohra.

Rys. 1 – koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia. Punkt reprezentujący naprężenia normalne i styczne działające w przekroju dowolnie zorientowanym leży w zielonym obszarze.

Uwagi ogólne

Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku, a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu naprężenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrocie układu współrzędnych, ze względu na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje.

Koło Mohra, mimo że jest konstrukcją graficzną, pozwala, na podstawie danych liczbowych obliczać wartości naprężeń na podstawie prostych związków geometrycznych.

Płaski stan naprężenia

Koło Mohra jest wygodnym narzędziem analizy płaskiego stanu naprężenia w wybranym punkcie $P$ ośrodka sprężystego. Najczęściej jego konstruowanie odbywa się na podstawie znajomości naprężeń normalnych $\sigma _{\alpha }>\sigma _{\beta }$ i stycznych $\tau _{\alpha }=-\tau _{\beta }$ występujących w tym punkcie i działających na półpłaszczyzny $\pi _{\alpha }$ i $\pi _{\beta }$ określone przez ich wersory $\mathbf {\vec {n}} _{\alpha }=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\;\;\mathbf {\vec {n}} _{\beta }=(\cos \beta ,\sin \beta )$  (rys. 2a-c).

Rys. 2a – koło Mohra i naprężenia $\sigma _{\alpha },\;\tau _{\alpha },\;\sigma _{\beta },\;\tau _{\beta }$

Koło budujemy w układzie współrzędnych $0\sigma \tau$. Jego środek ma w tym układzie współrzędne $\left({\frac {\sigma _{\alpha }+\sigma _{\beta }}{2}},\;0\right),$ promień zaś ma długość ${\sqrt {\left({\frac {\sigma _{\alpha }-\sigma _{\beta }}{2}}\right)^{2}+\tau _{\alpha }^{2}}}$ (rys. 2a). Na tym rysunku kierunek wersora $\mathbf {\vec {n}} _{\alpha }$ określa prosta wyznaczona przez punkty $R\;i\;A_{\alpha },$ przy czym współrzędne punktu $A_{\alpha }$ określają naprężenia $\sigma _{\alpha },\;\tau _{\alpha }$ działające na punkt $P$ półpłaszczyzny $\pi _{\alpha }$ (rys. 2b). Po obrocie wersora o kąt $+90^{\circ }$ przyjmuje on pozycję $\mathbf {\vec {n}} _{\beta }.$ W tym przypadku punkt $A_{\beta }$ ma współrzędne $(\sigma _{\beta },\;\tau _{\beta }=-\tau _{\alpha })$ określające stan naprężenia w punkcie $P$ półpłaszczyzny $\pi _{\beta }$ (rys. 2c).

Jest istotne, że kąty są odmierzane od kierunku osi $0\sigma ,$ czyli od kierunku wersora wskazującego kierunek naprężenia głównego $\sigma _{1}$ (rys. 2a).

Rys. 2b-e – naprężenia w punkcie $P$ półpłaszczyzn $\pi _{\alpha },\;\pi _{\beta },\;\pi _{\gamma },\;\pi _{\delta }.$

Rysunki 2b-e ilustrują stany naprężeń występujące w punkcie $P$ półpłaszczyzn $\pi _{\alpha },\;\pi _{\beta },\;\pi _{\gamma },\;\pi _{\delta }$ o wersorach $\mathbf {\vec {n}} _{\alpha },\;\mathbf {\vec {n}} _{\beta },\;\mathbf {\vec {n}} _{\gamma },\;\mathbf {\vec {n}} _{\delta }.$

Warto zauważyć, że obrotowi wersora $\mathbf {\vec {n}}$ o kąt $180^{\circ }$ odpowiada pełne okrążenie punktu $A$ po okręgu Mohra. Wynika stąd, że dalszemu obrotowi wersora odpowiada powtórny obieg punktu $A$ po tym okręgu.

W przypadku obciążenia hydrostatycznego, tzn. gdy $\sigma _{1}=\sigma _{2},$ koło Mohra redukuje się do punktu $(\sigma _{1},\;0).$

Gdy $\sigma _{1}=-\sigma _{2},$ środek koła $0$ pokrywa się z początkiem $S$ układu współrzędnych $0\sigma \tau .$ Wówczas w punkcie $P$ na półpłaszczyznach $\pi _{\pm 45^{\circ }}$ i $\pi _{\pm 135^{\circ }}$ naprężenia normalne mają wartości zerowe, a naprężenia styczne – wartości ekstremalne $\tau =\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}.$ Jest to przypadek czystego ścinania w punkcie $P$.

Płaski „stan bezwładności”

Rys. 3 – koło Mohra dla momentów bezwładności $I_{\alpha },\;I_{\beta },\;D_{\alpha }=-D_{\beta }$

Koło Mohra może być także wykorzystane (rys. 3a) do opisu związków zachodzących pomiędzy momentami bezwładności $I_{\alpha },\;I_{\beta }$ i momentami dewiacyjnymi $D_{\alpha }=-D_{\beta }$ dowolnej figury płaskiej, liczonymi względem układu współrzędnych $P12$ (rys. 3b-c). Przy tym obliczeniu figura zajmuje położenie określone wersorem tej osi głównej, centralnej, względem której główny moment bezwładności ma mniejszą wartość.

Elipsa bezwładności

Na podstawie konstrukcji koła Mohra można podać alternatywny sposób obliczania momentu bezwładności $I_{\alpha }$ dowolnej figury płaskiej względem osi odchylonej o kąt $\alpha$ od kierunku centralnej osi głównej (1).

Rys. 4 – elipsa i promienie bezwładności $i_{1},\;i_{2},\;d=i_{\alpha }$

Wprowadźmy do rozważań nową wielkość – tzw. promień bezwładności $i_{\alpha }$ liczony prostopadle do osi $0\alpha ,$ od środka elipsy do jej stycznej $\alpha \!-\!\alpha$ poprowadzonej w punkcie $C$ (rys. 4). Jest on określony wzorem

$i_{\alpha }={\sqrt {\frac {I_{\alpha }}{A}}},$

w którym $A$ oznacza pole rozważanej figury.

Zbudujmy teraz tzw. elipsę bezwładności o półosiach mających długość głównych promieni bezwładności

$i_{1}={\sqrt {\frac {I_{1}}{A}}},\;\;i_{2}={\sqrt {\frac {I_{2}}{A}}}$ (rys. 4).

W tym celu skorzystamy ze wzoru wynikającego z rys. 3.

${\begin{aligned}I_{\alpha }&={\frac {1}{2}}(I_{1}+I_{2})+{\frac {1}{2}}(I_{1}-I_{2})\cos(2\alpha )\\[2pt]&={\frac {1}{2}}{\big (}1+\cos(2\alpha ){\big )}I_{1}+{\frac {1}{2}}{\big (}1-\cos(2\alpha ){\big )}I_{2}=I_{1}\cos ^{2}\alpha +I_{2}\sin ^{2}\alpha .\end{aligned}}$

Stąd dla promieni bezwładności mamy

(a)   $i_{\alpha }^{2}=i_{1}^{2}\cos ^{2}\alpha +i_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha .$

Powstaje jednak pytanie, czy wielkość $i_{\alpha }$ obliczona tym wzorem jest istotnie promieniem bezwładności względem osi $0\alpha .$

Obliczmy odległość $d$ osi $0\alpha$ od stycznej $\alpha \!-\!\alpha$ (rys. 4).

Wykorzystamy w tym celu dwa równania elipsy

$x=i_{2}\cos \varphi ,\quad y=i_{1}\sin \varphi ,$

$f(x,y)={\frac {x^{2}}{i_{2}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{i_{1}^{2}}}-1=0.$

Związek pomiędzy kątami $\alpha$ i $\varphi$ otrzymamy, obliczając pochodną funkcji $f$ w kierunku stycznej w punkcie $C.$

$\left({\frac {df}{ds}}\right)_{C}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{ds}}={\frac {2x}{i_{2}^{2}}}(-\cos \alpha )+{\frac {2y}{i_{1}^{2}}}(-\sin \alpha )=0.$

Stąd

(b)   $\operatorname {tg} \alpha =-{\frac {i_{1}^{2}}{i_{2}^{2}}}{\frac {x}{y}}=-{\frac {i_{1}}{i_{2}}}\operatorname {ctg} \varphi .$

Teraz możemy napisać (na podstawie rys. 4)

${\begin{aligned}d&=y\cos \alpha -x\sin \alpha =i_{1}\sin \varphi \cos \alpha -i_{2}\cos \varphi \sin \alpha \\[2pt]&=i_{1}\cos \alpha {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\varphi }}}-i_{2}\sin \alpha {\frac {\operatorname {ctg} \varphi }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\varphi }}}.\end{aligned}}$

Po wykorzystaniu związków (b) i (a) i prostych przekształceniach otrzymujemy

$d={\sqrt {i_{1}^{2}\cos ^{2}\alpha +i_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }}=i_{\alpha }.$

Zatem istotnie $i_{\alpha }$ jest prostopadłą odległością $d$ pomiędzy osią $0\alpha$ a styczną $\alpha \!-\!\alpha$ (rys. 4), czyli jest, zgodnie z definicją, promieniem bezwładności względem tej osi.

Rdzeń przekroju

Rozważmy przekrój poprzeczny pręta prostego, poddanego ściskaniu (lub rozciąganiu) mimośrodowym siłą skupioną $P$ działającą na mimośrodach $x_{p}$ i $y_{p}$ (rys. 5) liczonych względem centralnych głównych osi bezwładności przekroju.

W przekroju takim można wyróżnić obszar, nazywany jego rdzeniem lub jądrem, o tej własności, że działanie siły w tym obszarze wywołuje naprężenia stałego znaku w całym przekroju poprzecznym. Naprężenia te można obliczyć wzorem

$\sigma ={\frac {P}{A}}+{\frac {Px_{p}}{J_{y}}}x+{\frac {Py_{p}}{J_{x}}}y={\frac {P}{A}}\left(1+{\frac {x_{p}x}{i_{y}^{2}}}+{\frac {y_{p}y}{i_{x}^{2}}}\right),$

w którym:

$A$ – pole powierzchni przekroju poprzecznego,

$i_{x},\;i_{y}$ – jego promienie bezwładności,

$x_{p},\;y_{p}$ – współrzędne punktu przyłożenia siły $P,$

$x,\;y$ – współrzędne punktu, w którym obliczane są naprężenia.

Równanie osi obojętnej ma postać

(1)   ${\frac {x_{p}}{i_{y}^{2}}}x+{\frac {y_{p}}{i_{x}^{2}}}y+1=0,$

z której wynika, że każdej stycznej $T(x,y)$ do konturu przekroju poprzecznego odpowiada pewien punkt przyłożenia siły $P(x_{p},y_{p}).$

Jeżeli zbudujemy obwiednię $S$ konturu przekroju poprzecznego w postaci linii łamanej złożonej z odcinków stycznych do tego konturu, to z równania (1) wynika również, że każdemu wierzchołkowi $R(x_{o},y_{o})$ obwiedni $S$ odpowiada prosta $P(x_{p},y_{p}),$ po której porusza się punkt $P,$ gdy styczna obraca się wokoło wierzchołka $R.$

Rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą. Mieści się ona zawsze wewnątrz obwiedni (obrysu) konturu przekroju.

Przykład

Rys. 5 – rdzeń przekroju; linią przerywaną zaznaczono fragment obwiedni (obrysu) przekroju

Dla przykładu wyznaczymy kontur rdzenia przekroju poprzecznego pokazanego na rys. 5. Ponieważ dla tego przekroju mamy

$i_{x}^{2}={\frac {5}{12}}b^{2},$

$i_{y}^{2}={\frac {7}{36}}b^{2},$

więc równanie (1) przybiera postać (2)   $180x_{p}x_{o}+84y_{p}y_{o}+35b^{2}=0,$

w której $x_{o},\;y_{o}$ są współrzędnymi wierzchołka obwiedni przekroju poprzecznego.

Dla wierzchołka $A$ tej obwiedni mamy $x_{o}={\frac {5}{6}}d$ i $y_{o}=0$ i z równania (2) otrzymujemy równanie prostej $A$ równoległej do osi $0y$

$x_{p}=-{\frac {7}{60}}d.$

Dla wierzchołka $B$ mamy $x_{o}=-{\frac {d}{6}},\;y_{o}=d$ i równanie (2) przybiera postać

(3)   $-60x_{p}+168y_{p}+35d=0.$

Jest to równanie linii konturowej $B$ rdzenia, którą wyznaczymy na podstawie dwu znanych jej punktów o współrzędnych $x_{p}=0,\;y_{p}=-{\frac {5}{24}}d\;\;{}$ oraz ${}\;\;y_{p}=0,\;x_{p}={\frac {7}{12}}d.$

Dla wierzchołka $C$ mamy $x_{o}=-{\frac {2}{3}}d,\;y_{o}={\frac {1}{2}}d$ i otrzymujemy równanie (2) o postaci

(4)   $-240x_{p}+84y_{p}+35d=0.$

Linię konturową $C$ rdzenia określają punkty $x_{p}=0,\;y_{p}=-{\frac {5}{12}}d\;\;{}$ oraz ${}\;\;y_{o}=0,\;x_{o}={\frac {7}{48}}d.$

Wyznaczone trzy linie konturowe $A,B,C$ opisują kształt połowy rdzenia (rys. 5). Druga połowa jest symetryczna względem osi $0x$ ze względu na symetrię przekroju poprzecznego.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że ustawieniu siły $P$ w narożu $D$ konturu rdzenia odpowiada styczna $D$ do konturu przekroju. Pokażemy to przykładowo dla naroża $D.$ Jego współrzędne określimy, znajdując punkt przecięcia się prostych $A$ i $B.$

Prosta $A{:}$ $x_{p}=-{\frac {7}{60}},\;{}$ prosta $B{:}$ $-60x_{p}+168y_{p}+35d=0.$

Podstawiając $A$ do $B,$ otrzymujemy $y_{p}=-{\frac {1}{4}}d.$

Jeżeli teraz współrzędne naroża $D\;\left(-{\frac {7}{60}}d,\;-{\frac {1}{4}}d\right)$ podstawimy do równania (2), to otrzymamy równanie stycznej $D$ do konturu przekroju

$-42x_{o}-42y_{o}+35d=0.$

Styczna ta przechodzi przez dwa punkty

$x_{o}=0,\;y_{o}={\frac {5}{6}}d\;\;{}$ oraz ${}\;\;y_{o}=0,\;x_{o}={\frac {5}{6}}d,$

i jak wynika z rys. 5, również przez naroża $A\;i\;B$ przekroju poprzecznego.

Jak widać, istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość: wierzchołkowi obwiedni przekroju poprzecznego odpowiada prosta konturu rdzenia i odwrotnie – wierzchołkowi rdzenia odpowiada styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Zobacz też

• elipsoida naprężeń Lamégo
• Christian Otto Mohr
• Georg Mohr