Kompleks łańcuchowy

Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja edytuj

Kompleksem łańcuchowym   nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów)   połączony morfizmami   zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość   (lub równoważnie  ).

Zapisuje się je zwykle jako:

 

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i   zapisuje się  

Przykłady edytuj

  • Dla rodziny kompleksów łańcuchowych   ich sumą prostą   jest kompleks, w którym:
 
 

Homologie edytuj

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu   i każdego   określamy grupy

 

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu   Z definicji kompleksu mamy   dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu   jako:

 

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle   są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem   Homologiczną klasę cyklu   oznaczamy przez  

Przekształcenia łańcuchowe edytuj

Przekształceniem łańcuchowym   między kompleksami   a   nazywamy ciąg morfizmów   komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego   zależność

 

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii:  

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych   i   zdefiniowane jako   jest również przekształceniem łańcuchowym   Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną  [1].

Homologie definiują funktor

 

bo   i  

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast   zapisuje się   a funktor   – jako   (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci   i  ).

Przykłady edytuj

  • Stożkiem przekształcenia łańcuchowego   nazywamy kompleks łańcuchowy   w którym:
 
  gdzie  

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu   przez odcinek jednostkowy   gdzie   ściągamy do punktu podstawę iloczynu   a drugą podstawę   doklejamy do wielościanu   za pomocą przekształcenia   co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów   przez relacje   i   dla dowolnych  
  • Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego   nazywa się stożkiem nad kompleksem   i oznacza się go  
 
Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.
  • Jeśli   to kompleks   jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez   W kompleksie tym:
 
 

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu   poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw:   i   dla dowolnych  [2].

Homotopie łańcuchowe edytuj

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe   między kompleksami   a   powiemy, że ciąg morfizmów   jest homotopią łańcuchową między   i   jeżeli spełniona jest zależność

 

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach – istotnie, jeżeli   jest cyklem, to mamy:

 

gdyż   bo   jest cyklem. Stąd   jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych edytuj

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych   nazwiemy przekształcenia łańcuchowe   takie, że dla każdego   następujący ciąg jest dokładny:

 

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można „wyprostować” do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

 

gdzie   są naturalne. Istnienie przekształceń   można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu. Zobacz też: Ciąg Mayera-Vietorisa.

Przykłady kompleksów łańcuchowych edytuj

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy edytuj

Mając dowolną przestrzeń topologiczną   możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech   będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń   z n-sympleksu w   Określmy operator brzegu przez

 

gdzie   oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach   a   oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie   co dowodzi, że   jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie   tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni  

Kompleksy kołańcuchowe edytuj

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu   podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

 

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Przypisy edytuj

  1. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 27.
  2. Greenberg, op. cit., s. 105.

Bibliografia edytuj

  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
  • Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft.
  • Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.