Niech dany będzie szereg liczbowy
| | |
|
(A) |
o wyrazach dodatnich. Niech
-
Wówczas
- szereg (A) jest zbieżny, gdy
-
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
- [1][2].
Wersja graniczna kryterium
edytuj
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to
- szereg (A) jest zbieżny, gdy oraz
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.
Dowód w oparciu o kryterium Kummera
edytuj
Osobny artykuł: kryterium Kummera.
Niech
-
Ponieważ szereg
-
jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego[3]), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku
-
Ponieważ
-
teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium Kummera[2][4].
Bibliografia
edytuj