Kryterium d’Alemberta

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

$D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\qquad (n\in \mathbb {N} ).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r<1$ spełniona jest nierówność

$D_{n}\leqslant r,$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$D_{n}>1,$

to szereg (A) jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

$D=\lim _{n\to \infty }D_{n},$

to

• gdy $D<1,$ szereg (A) jest zbieżny, oraz
• gdy $D>1,$ szereg (A) jest rozbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy

$\limsup _{n\to \infty }D_{n}=1.$

Istotnie, rozważmy ciągi

$a_{n}={\frac {1}{n}},\;b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}.$

Wówczas

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=1.$

Jednak szereg (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski).

Dowód

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r<1$ spełniona jest nierówność

$D_{n}\leqslant r.$

Stąd

$a_{n+1}\leqslant r\cdot a_{n}$

dla każdego $n\geqslant N.$ Oznacza to, że dla każdego $n>N$ spełniona jest nierówność

$a_{N+n}\leqslant r^{n}\cdot a_{N}.$

Szereg

$a_{N}+r\cdot a_{N}+r^{2}\cdot a_{N}+r^{3}a_{N}+\ldots$

jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie $r<1.$ Ponadto, majoryzuje on szereg

$a_{N}+a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\ldots$

Na mocy kryterium porównawczego szereg (A) jest zatem zbieżny.

W przypadku gdy istnieje taka liczba $N,$ że nierówność

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant 1$

zachodzi dla wszystkich $n\geqslant N,$ szereg (A) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg (A) jest rozbieżny.

Przykłady zastosowania

• Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny $a_{n}$ szeregu (A) zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}.$

Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci

$a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}.$

Mamy

$D_{n}={\frac {\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac {n!}{n^{n}}}}={\frac {(n+1)!}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!(n+1)}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}(n+1)}}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n}={\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}.$

Zatem korzystając z granicy

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e,$

otrzymujemy

$\lim _{n\to \infty }D_{n}={\frac {1}{e}}<1,$

co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.

• Niech

$a_{n}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}={\frac {(2n)!}{6^{n}n!}}\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Wówczas

$D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(2n+2)!}{6^{n+1}(n+1)!}}\cdot {\frac {6^{n}n!}{(2n)!}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {(2n+1)(2n+2)}{n+1}}\ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty .$

Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}$

jest rozbieżny.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.

Literatura dodatkowa

• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ratio Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].