Krzywa hipereliptyczna

Krzywa hipereliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, będące uogólnieniem pojęcia krzywej eliptycznej. Według współczesnej definicji, przez krzywą hipereliptyczną genusu $g\geqslant 1$ rozumiemy zbiór (nad dowolnym ciałem $K$) opisany następującym równaniem:

$v^{2}+h(u)v=f(u),$

gdzie $h$ i $f$ są pewnymi wielomianami nad ciałem $K,$ zaś $u,$ $v$ zmiennymi o wartościach z domknięcia algebraicznego ciała $K$ oraz spełnione są następujące warunki:

1. $h$ jest wielomianem stopnia co najwyżej $g,$
2. $f$ jest monicznym wielomianem stopnia $2g+1,$
3. nie istnieją $u_{0},v_{0}\in K$ spełniające jednocześnie powyższe równanie, równanie $2v_{0}+h(u_{0})=0$ oraz $h'(u_{0})v-f'(u_{0})=0,$ gdzie $h',$ $f'$ to pochodne formalne w pierścieniu $K[x]$ odpowiednio, wielomianów $h$ i $f.$