Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty ) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy statystycznej . W praktyce definiuje się ją najczęściej w formie tzw. kurtozy nadwyżkowej (współczynnika ekscesu, ang. excess kurtosis )[1] :
Kurt E = μ 4 σ 4 − 3 , {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3,} gdzie:
μ 4 {\displaystyle \mu _{4}} – czwarty moment centralny ,
σ {\displaystyle \sigma } – odchylenie standardowe .
Interpretacja
edytuj
Klasyczny współczynnik kurtozy definiowany jest jako standaryzowany moment centralny czwartego rzędu:
Kurt [ X ] = E [ ( X − μ σ ) 4 ] = E [ ( X − μ ) 4 ] ( E [ ( X − μ ) 2 ] ) 2 = μ 4 σ 4 . {\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}.} Kurtoza nadwyżkowa (inaczej współczynnik ekscesu lub po prostu eksces: Kurt E [ X ] = Kurt [ X ] − 3 {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}[X]={\mbox{Kurt}}[X]-3} ) jest jednak wygodniejsza, gdyż:
kurtoza nadwyżkowa rozkładu normalnego wynosi 0,
jeśli Y {\displaystyle Y} jest sumą n {\displaystyle n} niezależnych zmiennych losowych , każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej X , {\displaystyle X,} zachodzi własność: Kurt E [ Y ] = Kurt E [ X ] / n . {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}[Y]={\mbox{Kurt}}_{E}[X]/n.} Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy „spłaszczenia”, „wysmukłości” ani „spiczastości” rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w „ogonach” rozkładu, natomiast kształt „czubka” rozkładu jest praktycznie bez znaczenia[1] [2] .
Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:
mezokurtyczne (KurtE = 0) – wartość kurtozy nadwyżkowej wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza nadwyżkowa wynosi dokładnie 0),
leptokurtyczne (KurtE > 0) – kurtoza nadwyżkowa jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „grubsze”),
platykurtyczne (KurtE < 0) – kurtoza nadwyżkowa jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „węższe”).Kurtoza nadwyżkowa z próby wyraża się wzorem:
Kurt E = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 4 σ 4 − 3 , {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {{\frac {1}{n}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{4}}}{\sigma ^{4}}}-3,} gdzie:
x i {\displaystyle x_{i}} – i {\displaystyle i} -ta wartość cechy,
μ {\displaystyle \mu } – wartość oczekiwana w populacji,
σ {\displaystyle \sigma } – odchylenie standardowe w populacji ,
n {\displaystyle n} – liczebność próby.Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy nadwyżkowej z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:
Kurt E = n ( n + 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ s ) 4 − 3 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) ( n − 3 ) , {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}},} gdzie:
x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} – średnia z próby,
s {\displaystyle s} – odchylenie standardowe z próby ,
x i {\displaystyle x_{i}} – kolejne wartości cechy,
n {\displaystyle n} – liczebność próby. Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego
edytuj
Kurt E = μ 4 ( X ) σ 4 − 3 = 0 {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {\mu _{4}(X)}{\sigma ^{4}}}-3=0}
Niech:
X : Ω → R , {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ,}
Kurt E = μ 4 ( X ) σ 4 − 3 , {\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {\mu _{4}(X)}{\sigma ^{4}}}-3,}
μ n ( X ) = E ( ( X − E X ) n ) {\displaystyle \mu _{n}(X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{n})} – moment centralny n –tego rzędu,
m n ( X ) = E ( ( X ) n ) {\displaystyle m_{n}(X)=\operatorname {E} ((X)^{n})} – moment zwykły n –tego rzędu,Dystrybuanta rozkładu normalnego oraz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego to odpowiednio:
P x ( A ) = ∫ A f ( x ) d x , f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − m ) 2 2 σ 2 , d l a x ∈ R . {\displaystyle P_{x}(A)=\int _{A}f(x)dx,\qquad f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}},dla\qquad x\in \mathbb {R} .} Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:
m = E X = m 1 ( X ) , {\displaystyle m=\operatorname {E} X=m_{1}(X),}
σ 2 = D 2 X = E ( ( X − E X ) 2 ) = μ 2 ( X ) . {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {D} ^{2}X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{2})=\mu _{2}(X).} Mamy:
a)
m n ( X ) = ∫ Ω X n ( w ) P ( d w ) = ∫ R x n f ( x ) d x , {\displaystyle m_{n}(X)=\int _{\Omega }X^{n}(w)P(dw)=\int _{\mathbb {R} }x^{n}f(x)dx,} b)
μ 4 ( X ) = E ( ( X − E X ) 4 ) = E ( X 4 − 4 ( E X ) X 3 + 6 ( E X ) 2 X 2 − 4 ( E X ) 3 X + ( E X ) 4 ) = E ( X 4 ) − 4 m E ( X 3 ) + 6 E ( X 2 ) ( E X ) 2 − 4 ( E X ) 3 m + m 4 = E ( X 4 ) − 4 m E ( X 3 ) + 6 m 2 E ( X 2 ) − 3 m 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}(X)&=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{4})\\&=\operatorname {E} (X^{4}-4(\operatorname {E} X)X^{3}+6(\operatorname {E} X)^{2}X^{2}-4(\operatorname {E} X)^{3}X+(\operatorname {E} X)^{4})\\&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6\operatorname {E} (X^{2})(\operatorname {E} X)^{2}-4(\operatorname {E} X)^{3}m+m^{4}\\&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6m^{2}\operatorname {E} (X^{2})-3m^{4}.\end{aligned}}} Obliczamy momenty zwykłe :
E ( X 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 1 σ 2 π e − ( x − m ) 2 2 σ 2 d x = 1 σ 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( z 2 σ + m ) 2 e − z 2 2 σ d z = ∗ {\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }(z{\sqrt {2}}\sigma +m)^{2}e^{-z^{2}}{\sqrt {2}}\sigma dz=^{*}}
z = x − m 2 σ , x = z 2 σ + m {\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}
d z = 1 2 σ , d x = 2 σ d z {\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz} = ∗ 1 π ∫ − ∞ + ∞ ( 2 z 2 σ 2 + 2 2 z σ m + m 2 ) e − z 2 d z = {\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(2z^{2}\sigma ^{2}+2{\sqrt {2}}z\sigma m+m^{2})e^{-z^{2}}dz=} = 1 π ( 2 σ 2 ( ∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z ) + 2 2 σ m ( ∫ − ∞ + ∞ z e − z 2 d z ) = 0 + m 2 ( ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z ) = π ) = {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}2\sigma ^{2}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz\right)+2{\sqrt {2}}\sigma m\left(\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz\right)_{=0}+m^{2}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz\right)_{={\sqrt {\pi }}}{\Bigg )}=} = 1 π ( 2 σ 2 ∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z + m 2 π ) = ∗ {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(2\sigma ^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz+m^{2}{\sqrt {\pi }}\right)=^{*}}
∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z = ∫ − ∞ + ∞ z ⋅ z e − z 2 d z = − 1 2 z e − z 2 | − ∞ + ∞ + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z = {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz=\int _{-\infty }^{+\infty }z\cdot ze^{-z^{2}}dz=-{\frac {1}{2}}ze^{-z^{2}}{\Bigg |}_{-\infty }^{+\infty }+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz=}
= − 1 2 z e − z 2 | − ∞ + ∞ + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z = π 2 {\displaystyle =-{\frac {1}{2}}ze^{-z^{2}}{\Bigg |}_{-\infty }^{+\infty }+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} = ∗ 1 π ( 2 σ 2 π 2 + m 2 π ) = σ 2 + m 2 {\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}(2\sigma ^{2}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+m^{2}{\sqrt {\pi }})=\sigma ^{2}+m^{2}}
E ( X 3 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 3 1 σ 2 π e − ( x − m ) 2 2 σ 2 d x = 1 π ∫ − ∞ + ∞ ( z 2 σ + m ) 3 e − z 2 d z = ∗ {\displaystyle \operatorname {E} (X^{3})=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{3}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(z{\sqrt {2}}\sigma +m)^{3}e^{-z^{2}}dz=^{*}}
z = x − m 2 σ , x = z 2 σ + m {\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}
d z = 1 2 σ , d x = 2 σ d z {\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz} = ∗ 1 π ∫ − ∞ + ∞ ( z 3 2 3 σ 3 + 3 z 2 2 σ 2 m + 3 z 2 σ m 2 + m 3 ) e − z 2 d z = {\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(z^{3}{\sqrt {2^{3}}}\sigma ^{3}+3z^{2}2\sigma ^{2}m+3z{\sqrt {2}}\sigma m^{2}+m^{3})e^{-z^{2}}dz=} = 2 2 σ 3 π ( ∫ − ∞ + ∞ z 3 e − z 2 d z ) = 0 + 6 σ 2 m π ( ∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z ) = π 2 + {\displaystyle ={\frac {2{\sqrt {2}}\sigma ^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{3}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {6\sigma ^{2}m}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}+} + 3 2 σ m 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ z e − z 2 d z ) = 0 + m 3 π ( ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z ) = π = {\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {2}}\sigma m^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {m^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}=} = 6 σ 2 m π ⋅ π 2 + m 3 = 3 σ 2 m + m 3 {\displaystyle ={\frac {6\sigma ^{2}m}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+m^{3}=3\sigma ^{2}m+m^{3}}
E ( X 4 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 4 1 σ 2 π e − ( x − m ) 2 2 σ 2 d x = 1 π ∫ − ∞ + ∞ ( z 2 σ + m ) 4 e − z 2 d z = ∗ {\displaystyle \operatorname {E} (X^{4})=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{4}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(z{\sqrt {2}}\sigma +m)^{4}e^{-z^{2}}dz=^{*}}
z = x − m 2 σ , x = z 2 σ + m {\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}
d z = 1 2 σ , d x = 2 σ d z {\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz} = ∗ 1 π ∫ − ∞ + ∞ ( 4 σ 4 z 4 + 32 2 σ 3 m z 3 + 12 σ 2 m 2 z 2 + 4 2 σ m 3 z + m 4 ) e − z 2 d z = {\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(4\sigma ^{4}z^{4}+32{\sqrt {2}}\sigma ^{3}mz^{3}+12\sigma ^{2}m^{2}z^{2}+4{\sqrt {2}}\sigma m^{3}z+m^{4})e^{-z^{2}}dz=} = 4 σ 4 π ( ∫ − ∞ + ∞ z 4 e − z 2 d z ) + 32 2 σ 3 m π ( ∫ − ∞ + ∞ z 3 e − z 2 d z ) = 0 + {\displaystyle ={\frac {4\sigma ^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{4}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}+{\frac {32{\sqrt {2}}\sigma ^{3}m}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{3}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+} + 12 σ 2 m 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z ) = π 2 + 4 2 σ m 3 π ( ∫ − ∞ + ∞ z e − z 2 d z ) = 0 + m 4 π ( ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z ) = π = {\displaystyle +{\frac {12\sigma ^{2}m^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}+{\frac {4{\sqrt {2}}\sigma m^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {m^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}=} = 4 σ 4 π ( ∫ − ∞ + ∞ z 4 e − z 2 d z ) + 0 + 12 σ 2 m 2 π ( σ 2 + m 2 ) + 0 + m 4 π π = ∗ ∗ {\displaystyle ={\frac {4\sigma ^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{4}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}+0+{\frac {12\sigma ^{2}m^{2}}{\sqrt {\pi }}}(\sigma ^{2}+m^{2})+0+{\frac {m^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }}=^{**}} ∫ − ∞ + ∞ z 4 e − z 2 d z = ∫ − ∞ + ∞ z ⋅ z 3 e − z 2 d z = ∗ {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }z^{4}e^{-z^{2}}dz=\int _{-\infty }^{+\infty }z\cdot z^{3}e^{-z^{2}}dz=^{*}}
u = z , u ′ = 1 , v ′ = z 3 e − z 2 , v = ? {\displaystyle u=z,\quad u'=1,\quad v'=z^{3}e^{-z^{2}},\quad v=?} v = ∫ z 3 e − z 2 d z = 1 2 ∫ t e − t d t = 1 2 ( − t e − t ) + ∫ e − t d t = 1 2 ( − z 2 e − z 2 − e − z 2 ) {\displaystyle v=\int z^{3}e^{-z^{2}}dz={\frac {1}{2}}\int te^{-t}dt={\frac {1}{2}}(-te^{-t})+\int e^{-t}dt={\frac {1}{2}}(-z^{2}e^{-z^{2}}-e^{-z^{2}})}
t = z 2 u = t , u ′ = 1 , d z = 1 2 z d t , v ′ = e − t , v = − e − t {\displaystyle t=z^{2}\quad u=t,\quad u'=1,\quad dz={\frac {1}{2z}}dt,\quad v'=e^{-t},\quad v=-e^{-t}} = ∗ z ⋅ 1 2 ( − z 2 e − z 2 − e − z 2 ) | − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ 1 2 ( − z 2 e − z 2 − e − z 2 ) d z = 1 2 ⋅ 0 + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ z 2 e − z 2 d z + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z = {\displaystyle =^{*}z\cdot {\frac {1}{2}}(-z^{2}e^{-z^{2}}-e^{-z^{2}}){\Big |}_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{2}}(-z^{2}e^{-z^{2}}-e^{-z^{2}})dz={\frac {1}{2}}\cdot 0+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz=} = 1 2 ⋅ π 2 + 1 2 ⋅ π = 3 π 4 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}} = ∗ ∗ 4 σ 4 π ⋅ 3 π 4 + 12 σ 2 m 2 π ⋅ π 2 + m 4 π ⋅ π = 3 σ 4 + 6 σ 2 m 2 + m 4 ( = E ( X 4 ) ) {\displaystyle =^{**}{\frac {4\sigma ^{4}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}+{\frac {12\sigma ^{2}m^{2}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {m^{4}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\sqrt {\pi }}=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4}\quad (=\operatorname {E} (X^{4}))}
Obliczone wartości:
E ( X 2 ) = σ 2 + m 2 {\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+m^{2}}
E ( X 3 ) = 3 σ 2 m + m 3 {\displaystyle \operatorname {E} (X^{3})=3\sigma ^{2}m+m^{3}}
E ( X 4 ) = 3 σ 4 + 6 σ 2 m 2 + m 4 {\displaystyle \operatorname {E} (X^{4})=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4}} podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):
μ 4 ( X ) = E ( X 4 ) − 4 m E ( X 3 ) + 6 m 2 E ( X 2 ) − 3 m 4 = ( 3 σ 4 + 6 σ 2 m 2 + m 4 ) − 4 m ( 3 σ 2 m + m 3 ) + 6 m 2 ( σ 2 + m 2 ) − 3 m 4 = 3 σ 4 + 6 σ 2 m 2 + m 4 − 12 σ 2 m 2 − 4 m 4 + 6 σ 2 m 2 + 6 m 4 − 3 m 4 = 3 σ 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}(X)&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6m^{2}\operatorname {E} (X^{2})-3m^{4}\\&=(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4})-4m(3\sigma ^{2}m+m^{3})+6m^{2}(\sigma ^{2}+m^{2})-3m^{4}\\&=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4}-12\sigma ^{2}m^{2}-4m^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+6m^{4}-3m^{4}=3\sigma ^{4}\end{aligned}}} Stąd kurtoza jest równa:
Kurt E = ( μ 4 ( X ) ) ( σ 2 ) 2 − 3 = 3 σ 4 σ 4 − 3 = 3 − 3 = 0. {\displaystyle \operatorname {Kurt} _{E}={\frac {(\mu _{4}(X))}{(\sigma ^{2})^{2}}}-3={\frac {3\sigma ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3=3-3=0.}
↑ a b Błażej B. Kochański Błażej B. , Czy kurtoza mierzy spiczastość rozkładu? , „Wiadomości Statystyczne. The Polish Statistician”, 67 (11), 2022 , s. 43–61, DOI : 10.5604/01.3001.0016.1039 , ISSN 2543-8476 [dostęp 2023-04-19] .
↑ Peter H. P.H. WESTFALL Peter H. P.H. , Kurtosis as Peakedness, 1905 – 2014. R.I.P. , „The American statistician”, 68 (3), 2014, s. 191–195, DOI : 10.1080/00031305.2014.917055 , ISSN 0003-1305 , PMID : 25678714 , PMCID : PMC4321753 [dostęp 2021-03-15] .