Lemat Goursata

Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Wprowadzenie

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

• wzięcie podgrupy $H$ danej grupy $G,$
• wzięcie ilorazu $G/H$ (gdzie $H$ jest podgrupą normalną) oraz
• wzięcie iloczynu prostego $G_{1}\times G_{2}$ dwóch grup $G_{1}$ oraz $G_{2}.$

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa $L$ w $H$ jest po prostu podgrupą $L$ w $G$ zawartą w $H$ (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy $G/H$ mają postać $J/H,$ gdzie $J$ jest podgrupą w $G,$ dla której $H\subseteq J\subseteq G$ (co więcej, $J/H\trianglelefteq G/H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $J\trianglelefteq G$). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy $G_{1}$ oraz $G_{2}$ znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w $G_{1}\times G_{2}.$

Iloczyn prosty $G_{1}\times G_{2}$ danych grup $G_{1}$ i $G_{2}$ to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane $\{(g_{1},g_{2})\colon g_{i}\in G_{i}\}$ z mnożeniem określonym po współrzędnych: $(g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2});$ elementem neutralnym jest $(e_{1},e_{2}),$ a element odwrotny to $(g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1}).$ Jeśli $H_{i}$ jest podgrupą w $G_{i},$ to $H_{1}\times H_{2}$ jest podgrupą w $G_{1}\times G_{2}$ nazywaną dalej podiloczynem; więcej $H_{1}\times H_{2}$ jest normalna w $G_{1}\times G_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda $H_{i}\trianglelefteq G_{i}$.

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup $G_{1}$ i $G_{2}$ mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w $G_{1}\times G_{2}$ jest podiloczynem w $G_{1}\times G_{2}$?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie

Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w $G_{1}\times G_{2}$ jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy $g_{i}\in G_{i}$ mają skończone, względnie pierwsze rzędy.

wykorzystujące poniższy

Lemat

Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Wówczas $G_{1}\times G_{2}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy $G_{1}$ i $G_{2}$ są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach.

Twierdzenie

Niech $G_{1},G_{2}$ będą grupami.

1. Niech $H$ będzie podgrupą w $G_{1}\times G_{2}.$ Niech $H_{11}=\{a\in G_{1}\colon (a,e_{2})\in H\},$ $H_{21}=\{b\in G_{2}\colon (e_{1},b)\in H\}$ oraz $H_{12}=\{a\in G_{1}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}b\in G_{2}\},$ $H_{22}=\{b\in G_{2}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}a\in G_{1}\}.$

   Wówczas $H_{i1}\subseteq H_{i2}$ są podgrupami w $G_{i},$ dla których $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},$ a odwzorowanie $\varphi _{H}\colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}$ dane wzorem $\varphi _{H}(aH_{11})=bH_{21},$ gdzie $(a,b)\in H,$ jest izomorfizmem.

   Co więcej: jeśli $H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2},$ to $H_{i1},H_{i2}\triangleleft G_{i}$ oraz $H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1}),$ centrum $G_{i}/H_{i1}.$

2. Niech $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2}$ będą podgrupami w $G_{i}$ i niech $\varphi \colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}$ będzie izomorfizmem.

   Wówczas $H={\big \{}(a,b)\in H_{12}\times H_{22}\colon \varphi (aH_{11})=bH_{21}{\big \}}$ jest podgrupą $G_{1}\times G_{2}.$

   Zakładając ponadto $H_{i1},H_{i2}\trianglelefteq G$ oraz $H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1})$ otrzymuje się $H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2}.$

3. Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski

W literaturze spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech $H$ będzie podgrupą w $G_{1}\times G_{2}$ z kanonicznymi rzutami $\pi _{i}\colon H\to G_{i}$ o jądrach $N_{i},$ dzięki którym można utożsamić $N_{i}$ z podgrupą normalną w $G_{i}.$ Wówczas obraz $H$ w $G_{1}/N_{1}\times G_{2}/N_{2}$ jest wykresem izomorfizmu $G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}.$

Lemat Zassenhausa

Diagram Hassego do lematu Zassenhausa (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze) obrazujący dodatkowo alternatywne określenie „motyli”.

Niech $G$ będzie grupą, a $B\trianglelefteq A$ oraz $D\trianglelefteq C$ będą jej podgrupami. Wówczas $B(A\cap D)\trianglelefteq B(A\cap C),$ $D(B\cap C)\trianglelefteq D(A\cap C),$ a grupy ilorazowe $B(A\cap C)/B(A\cap D)$ oraz $D(A\cap C)/D(B\cap C)$ są izomorficzne.

Dowód

Zbiór $H=\{(bc,dc)\in G\times G\colon b\in B,d\in D,c\in A\cap C\}$ jest podgrupą w $G\times G$. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest $H_{12}=B(A\cap C)$ oraz $H_{22}=D(A\cap C)$ (co pokazuje, że są one grupami w $G$), ponadto $H_{11}=\{ac\colon a\in B,c\in A\cap D\}=B(A\cap D)$ i podobnie $H_{21}=D(B\cap C).$ Zatem skoro $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},$ to $B(A\cap D)$ jest podgrupą normalną w $B(A\cap C),$ $D(B\cap C)$ jest podgrupą normalną w $D(A\cap C)$ i stąd $H_{12}/H_{11}$ oraz $H_{22}/H_{21}$ są izomorficzne, co kończy dowód.