Lemat Hensela

Lemat Hensela – twierdzenie w teorii liczb sformułowane przez Kurta Hensela mówiące o istnieniu rozwiązań równania wielomianowego modulo $p^{n}$, gdy znane są rozwiązania modulo $p$.

Twierdzenie

Niech $f(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Jeśli istnieje taka liczba całkowita $a_{0}$, że

$f(a_{0})\equiv 0{\pmod {p}}$ i $f'(a_{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}$,

to istnieje nieskończony ciąg $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$ liczb całkowitych spełniający dla każdego $n\geq 1$ warunki

$f(a_{n})\equiv 0{\pmod {p^{n+1}}}$ oraz $a_{n}\equiv a_{n-1}{\pmod {p^{n}}}$.

Ponadto jeśli ciąg $(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )$ również spełnia te warunki i $a_{0}\equiv b_{0}{\pmod {p}}$, to $a_{n}\equiv b_{n}{\pmod {p^{n+1}}}$ dla każdego $n\geq 0$.

Zastosowania

Reszty kwadratowe modulo $p^{n}$

Udowodnimy, że dla liczby pierwszej $p>2$ oraz $a$ niepodzielnego przez $p$ kongruencja $x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest resztą kwadratową modulo $p$, czyli kongruencja $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$ ma rozwiązanie.

Oczywiście z $x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}$ wynika natychmiast $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$. Aby wykazać wynikanie w drugą stronę, posłużymy się lematem Hensela. Przyjmijmy $f(x)=x^{2}-a$. Niech $x_{0}$ będzie rozwiązaniem kongruencji $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$. Z założenia $p\nmid a$ wnioskujemy, że $p\nmid x_{0}$. Wówczas $f(x_{0})=x_{0}^{2}-a\equiv 0{\pmod {p}}$ oraz $f'(x_{0})=2x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}$. Zatem spełnione są założenia lematu Hensela.

Na mocy lematu Hensela istnieje taki ciąg $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )$, że $f(x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{n+1}}}$. W szczególności $x_{n-1}$ jest rozwiązaniem kongruencji $x^{2}\equiv a{\pmod {p^{n}}}$. To kończy dowód.

Liczby $p$-adyczne

Odpowiednio sformułowany lemat Hensela jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania równań w ciałach $p$-adycznych. Wówczas przedstawione wzory są analogiczne do metody Newtona przybliżonego rozwiązywania równań w liczbach rzeczywistych.