Lemat Lallementa
Lemat Lallementa – twierdzenie teorii półgrup dotyczące możliwości podnoszenia elementów idempotentnych z półgrup ilorazowych danej półgrupy regularnej do wyjściowej półgrupy, opublikowane przez Gérarda Lallementa w 1966 roku[1].
Lemat Lallementa edytuj
Niech będzie kongruencją na półgrupie regularnej Niech oznacza klasę abstrakcji elementu względem relacji Jeżeli jest elementem idempotentnym w półgrupie ilorazowej to istnieje taki element idempotentny w że Ponadto, można wybrać tak, by oraz
Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.
Uogólnienie edytuj
Lemat Lallementa wynika wprost z następującego ogólniejszego stwierdzenia, w którym kongruencję zastępuje się przez równoważny jej homomorfizm.
Niech będzie homomorfizmem półgrup oraz niech będzie takim elementem, że jest elementem idempotentnym w Jeżeli ma uogólnioną odwrotność to element jest idempotentny oraz
Dowód edytuj
Ponieważ jest odwrotnością to (a) oraz (b) Oznacza to, na mocy (b), że
tj. jest elementem idempotentnym. Ponieważ też jest elementem idempotentnym, zachodzi
Ostatecznie, z powyższego i (a),
Przypisy edytuj
- ↑ G. Lallement, Congruences et équivalences de Green sur un demi-groupe régulier (Kongruencje i równoważności Greena na półgrupie regularnej), C. R. Acad. Sci. Paris 262A (1966), s. 613−616.