Liczby dualne

Liczby dualne – wyrażenia postaci $z=a+b\varepsilon ,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$ oraz $\varepsilon ^{2}=0$ ($\varepsilon$ jest nilpotentem).

Konstrukcja

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc).$

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^{2}=(0,0).$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać $(0,b),\quad b\neq 0,$   bowiem

$(0,b)\otimes (0,b)=(0,0).$

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon$ gdzie $\varepsilon =(0,1).$

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

$(c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+0}}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon .$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

$a+b\varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}.$

w szczególności

$\varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych $P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\ldots +p_{n}x^{n},$ można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że $P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,$ gdzie $P'$ jest pochodną $P.$

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:

$f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon .$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby podwójne
• liczby zespolone

Linki zewnętrzne

• Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].