Linia środkowa

Linia środkowa – odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta.

odcinek DE jest linią środkową

W każdym trójkącie istnieją trzy różne linie środkowe, każdej z nich odpowiada jeden bok trójkąta – ten, z którym środkowa jest rozłączna.

Linii środkowej nie należy mylić ze środkową trójkąta.

Twierdzenie

Linia środkowa jest równoległa do odpowiadającego jej boku. Jej długość jest dwukrotnie mniejsza od długości tego boku.

Dowód (wektorowy)

Zgodnie z oznaczeniami rysunku

${\vec {DE}}={\vec {DC}}+{\vec {CE}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {AC}}+{\tfrac {1}{2}}{\vec {CB}}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {AC}}+{\vec {CB}})={\tfrac {1}{2}}{\vec {AB}},$

co oznacza, że odcinek DE jest równoległy do odcinka AB i ma dwukrotnie mniejszą długość.

Dowód (geometryczny)

Ponieważ

${\frac {AC}{DC}}={\frac {BC}{EC}},$

więc spełnione są założenia odwrotnego twierdzenia Talesa. Stąd $AB\parallel DE.$

To z kolei oznacza, że $\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEC$ oraz $\sphericalangle BAC=\sphericalangle EDC.$ Wystarczy teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ABC i DEC.

Dowód (geometryczny) 2

$|AD|=|DC|,|CE|=|EB|$ oraz $DE'\parallel AB,F'E'\parallel AC$

Niech punkty D, E będą środkami boków odpowiednio AC i BC. Odcinek DE jest więc linią środkową.

Poprowadźmy z punktu D prostą równoległą do boku AB przecinającą bok BC w punkcie E′. Następnie poprowadźmy z punktu E′ prostą równoległą do boku AC przecinającą bok AB w punkcie F′. Ponieważ czworokąt AF′E′D jest równoległobokiem więc

$|F'E'|=|AD|=|DC|$

oraz

$|\sphericalangle BF'E'|=|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle E'DC|,\quad |\sphericalangle F'BE'|=|\sphericalangle DE'C|.$

Powyższe równości oznaczają, że trójkąty DE′C oraz F′BE′ są przystające (cecha „KBK”), stąd m.in. $|BE'|=|CE'|.$

Punkt E′ jest więc środkiem odcinka BC. Ponieważ każdy odcinek ma dokładnie jeden środek więc E=E′. Linia środkowa DE będąca bokiem równoległoboku AF′E′D jest zatem równoległa do boku AB.

Ponadto ponieważ

$|AF'|=|DE'|\quad oraz\quad |DE'|=|F'B|.$

Więc F′ jest środkiem boku AB, czyli

$|DE|={\tfrac {1}{2}}\cdot |AB|.$

Linia środkowa w trapezie

Pojęcie linii środkowej stosuje się także w trapezach. W tym przypadku jest to odcinek łączący środki ramion trapezu.

Zachodzi nieco ogólniejszy odpowiednik twierdzenia o linii środkowej trójkąta:

Linia środkowa w trapezie jest równoległa do (obu) podstaw trapezu, a jej długość jest średnią arytmetyczną ich długości.

Zobacz też

• dwusieczna kąta
• wysokość trójkąta