Macierze hermitowskie 2 × 2
edytuj
macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
[
a
b
b
c
]
,
a
,
b
,
c
∈
R
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;{}}
[
1
2
2
7
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}}}
macierze zespolone, np.
[
1
−
i
i
1
]
,
[
2
−
i
i
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}}
σ
1
=
[
0
1
1
0
]
,
σ
2
=
[
0
−
i
i
0
]
,
σ
3
=
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
macierz zbudowana z macierzy Pauliego
H
(
x
,
y
,
z
)
=
x
σ
1
+
y
σ
2
+
z
σ
3
=
[
z
x
−
i
y
x
+
i
y
−
z
]
{\displaystyle H(x,y,z)=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}={\begin{bmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{bmatrix}}}
Macierze hermitowskie 3 × 3
edytuj
macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
[
a
b
c
b
d
e
c
e
f
]
,
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
∈
R
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},\;a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} ,\;{}}
[
1
2
4
2
7
0
4
0
−
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}}}
A
=
[
2
1
−
2
i
i
1
+
2
i
−
2
3
+
2
i
−
i
3
−
2
i
5
]
.
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.}
Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:
A
†
=
(
[
2
1
−
2
i
i
1
+
2
i
−
2
3
+
2
i
−
i
3
−
2
i
5
]
T
)
∗
=
[
2
1
−
2
i
i
1
+
2
i
−
2
3
+
2
i
−
i
3
−
2
i
5
]
=
A
{\displaystyle A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A}
Macierze hermitowskie 4 × 4
edytuj
γ
0
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}
Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego
edytuj
Macierze hermitowskie wymiaru
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
∈
R
,
{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in \mathbb {R} ,}
liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
[
p
1
a
b
…
a
¯
p
2
c
…
b
¯
c
¯
p
3
…
…
…
…
…
]
,
p
1
,
p
2
,
p
3
,
⋯
∈
R
,
a
,
b
,
c
,
⋯
∈
C
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b&\ldots \\{\overline {a}}&p_{2}&c&\ldots \\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}&\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} ,}
gdzie
a
¯
,
b
¯
,
c
¯
,
…
{\displaystyle {\overline {a}},{\overline {b}},{\overline {c}},\dots }
a
,
b
,
c
,
…
{\displaystyle a,b,c,\dots }
Macierze te zależą w ogólności od
n
2
{\displaystyle n^{2}}
n
2
{\displaystyle n^{2}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
2
−
1
{\displaystyle n^{2}-1}
T
r
(
A
)
=
0
{\displaystyle Tr(A)=0}
algebrą Liego
s
u
(
n
)
.
{\displaystyle su(n).}
Macierze hermitowskie 2 × 2
edytuj
– mają ogólną postać
[
p
1
a
a
¯
p
2
]
,
p
1
,
p
2
∈
R
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a\\{\overline {a}}&p_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,}
gdzie:
a
=
x
a
+
i
y
a
,
{\displaystyle a=x_{a}+iy_{a},}
a
¯
=
x
a
−
i
y
a
{\displaystyle {\overline {a}}=x_{a}-iy_{a}}
a
.
{\displaystyle a.}
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów
x
a
,
y
a
,
p
1
,
p
2
{\displaystyle x_{a},y_{a},p_{1},p_{2}}
przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń
2
2
−
1
=
3
{\displaystyle 2^{2}-1=3}
algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego .
Macierze hermitowskie 3 × 3
edytuj
– mają ogólną postać
[
p
1
a
b
a
¯
p
2
c
b
¯
c
¯
p
3
]
,
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
R
,
a
,
b
,
c
∈
C
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b\\{\overline {a}}&p_{2}&c\\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {C} .}
Macierze te zależą w ogólności od
3
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=9}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
9
{\displaystyle 9}
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
3
2
−
1
=
8
{\displaystyle 3^{2}-1=8}
8
{\displaystyle 8}
macierze Gell-Manna .
Dowód: Niech
λ
{\displaystyle \lambda }
A
,
{\displaystyle A,}
A
x
=
λ
x
{\displaystyle Ax=\lambda x}
x
.
{\displaystyle x.}
λ
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
λ
x
,
x
⟩
=
⟨
A
x
,
x
⟩
=
⟨
x
,
A
x
⟩
=
⟨
x
,
λ
x
⟩
=
λ
¯
⟨
x
,
x
⟩
,
{\displaystyle \lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle ,}
co dowodzi, że
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
=
λ
¯
.
{\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}.}
Dowód: Niech
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
A
{\displaystyle A}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
,
{\displaystyle x_{2},}
A
x
1
=
λ
1
x
1
{\displaystyle Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1}}
A
x
2
=
λ
2
x
2
.
{\displaystyle Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.}
λ
2
⟨
x
1
,
x
2
⟩
=
⟨
x
1
,
λ
2
x
2
⟩
=
⟨
x
1
,
A
x
2
⟩
=
⟨
A
†
x
1
,
x
2
⟩
=
⟨
λ
1
∗
x
1
,
x
2
⟩
=
λ
1
∗
⟨
x
1
,
x
2
⟩
,
{\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle ,}
ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc
λ
1
∗
=
λ
1
.
{\displaystyle \lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}.}
Stąd:
λ
2
⟨
x
1
,
x
2
⟩
=
λ
1
⟨
x
1
,
x
2
⟩
⇒
(
λ
2
−
λ
1
)
⟨
x
1
,
x
2
⟩
=
0
,
{\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,}
ponieważ
λ
2
≠
λ
1
{\displaystyle \lambda _{2}\neq \lambda _{1}}
⟨
x
1
,
x
2
⟩
=
0
,
{\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle =0,}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
Macierz hermitowska
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
{\displaystyle n}
liniowo niezależnych wektorów własnych. Dowód: Niech
A
{\displaystyle A}
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle A}
dowodu nie wprost , że
v
{\displaystyle v}
(
A
−
λ
I
)
2
v
=
0
,
{\displaystyle (A-\lambda I)^{2}v=0,}
⟨
v
,
(
A
−
λ
I
)
2
v
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle v,(A-\lambda I)^{2}v\rangle =0.}
A
{\displaystyle A}
λ
{\displaystyle \lambda }
⟨
(
A
−
λ
I
)
v
,
(
A
−
λ
I
)
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle (A-\lambda I)v,(A-\lambda I)v\rangle =0}
‖
(
A
−
λ
I
)
v
‖
2
=
0.
{\displaystyle \|(A-\lambda I)v\|^{2}=0.}
(
A
−
λ
I
)
v
=
0
,
{\displaystyle (A-\lambda I)v=0,}
v
{\displaystyle v}
v
{\displaystyle v}
A
{\displaystyle A}
Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy
A
{\displaystyle A}
D
{\displaystyle D}
unitarna macierz
U
,
{\displaystyle U,}
A
=
U
D
U
†
.
{\displaystyle A=UDU^{\dagger }.}
Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną . Formy hermitowskie
edytuj
Formę
g
{\displaystyle g}
V
{\displaystyle V}
hermitowską jeżeli
g
(
a
1
ξ
1
+
a
2
ξ
2
,
ϑ
)
=
a
1
g
(
ξ
1
,
ϑ
)
+
a
2
g
(
ξ
2
,
ϑ
)
(
a
1
,
a
2
∈
C
,
ξ
1
,
ξ
2
,
ϑ
∈
V
)
{\displaystyle g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\quad (a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)}
g
(
ξ
,
ϑ
)
=
g
(
ϑ
,
ξ
)
¯
(
ξ
,
ϑ
∈
V
)
.
{\displaystyle g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\quad (\xi ,\vartheta \in V).}
Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
g
(
ξ
,
ϑ
)
=
ξ
A
ϑ
T
(
ξ
,
ϑ
∈
C
n
)
{\displaystyle g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\quad (\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})}
definiuje formę hermitowską w przestrzeni
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
ϑ
T
{\displaystyle \vartheta ^{T}}
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
Bibliografia
edytuj
![{\displaystyle A=[a_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1abea4bedfb4eabb36df6d0c0b97aebc10829fb)
![{\displaystyle [a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42265d87b35fac108cd12b161c46396de9a81fd)
